Метод простых итераций

Пусть задано уравнение f(x)=0, где f(x) – непрерывная функция. Чтобы найти действительные корни этого уравнения, заменим его равносильным:

x=j(x). (4)

Теперь, чтобы решить уравнение (4) применяют метод последовательных приближений (метод итерации). Выбирают некоторое начальное приближение x₀ и последовательно вычисляют следующие приближения:

x_k=j(x_k-1), k= 1.2,... (5)

Сходимость последовательности {х_k} обеспечивается соответствующим выбором функции j (х) и начального приближения х ₀. Выбирая по-разному функцию j(х), можно составит разные итерационные методы решения уравнения (4).

а) 0<’j (x) <1;

б)'-1<’j (x) <0;

в)j’ (x) >1;

г)j’ (x) <-1

Рисунок 1. – Геометрическое представление метода итераций

Метод итерации имеет простой геометрический смысл. Построим графики функцийу=х и у=j(х). Абсцисса точки сечения графиков этих функций является корнем уравнения (4) (рис. 1).

На отрезке [ а; b ] произвольно выбираем точкух₀ и проводим через нее прямую, параллельную оси ординат до пересечения с кривой у =j(х)в точке A ₀ (x₀, j (x ₀)). Из точки А ₀ проведем прямую, параллельную оси абсцисс, до пересечения с прямой y=x. В результате получим точку В ₁ с ординатой j (x ₀). Спроектировав точку B₁ на ось Ох, находим абсциссу x₁=j(x₀). Аналогично через х ₁ проводим прямую, параллельную оси ординат, до пересечения с кривой у = j (х) в точке A ₁ (x ₁, j (x₁)). Из точки А ₁ проводим прямую, параллельную оси абсцисс, до пересечения с прямой у=х в точке B ₂ (x ₂, j (x ₁)), абсцисса которой х ₂= j (х₁) и т.д. В результате совместные абсциссы точек A ₁ и B ₁, A ₂ и B ₂ есть последовательными приближениями x₁, x₂, x₃... корня х*.

Если | j' (х) |< 1, то последовательные приближения x_k сходятся к корню х*, если | j' (х)| > 1, то последовательные приближения отдаляются от него.

Скорость сходимости зависит также от выбора начального приближения x₀. Чем ближе к корню х* выбрано x₀, тем быстрее будет найден результат.

Процесс итераций можно закончить, если будет выполнено следующее неравенство

|x_k – x_k-1|<e.