2014-02-18
637
1. Дисперсия постоянной C равна 0, DC = 0, С = const.
Доказательство. DC = M (С – MC)2 = М (С – С) = 0.
2. D (CX) = С 2 DX.
Доказательство. D (CX) = M (CX)2 – M 2(CX) = C 2 MX 2 – C 2(MX)2 = C 2(MX 2 – M 2 X) = С 2 DX.
3. Если X и Y – независимые случайные величины, то
Доказательство.
4. Если Х 1, Х 2, … не зависимы, то 
.
Это свойство можно доказать методом индукции, используя свойство 3.
5. 
.
Доказательство. D(X – Y) = DX + D(–Y) = DX + (–1)2D(Y) = DX + D(Y).
6. 
Доказательство. D(C+X) = M(X+C–M(X+C))2 = M(X+C–MX–MC)2 = M(X+C–MX–C)2 = M(X–MX)2 = DX.
Пусть 
– независимые случайные величины, причем
, 
.
Составим новую случайную величину 
, найдем математическое ожидание и дисперсию Y.
; 
.
То есть при n ®¥ математическое ожидание среднего арифметического n независимых одинаково распределенных случайных величин остается неизменным, равным математическому ожиданию а, в то время как дисперсия стремится к нулю.
Это свойство статистической устойчивости среднего арифметического лежит в основе закона больших чисел.
