Уравнения Лагранжа II рода

Обобщенными координатами (q) называются такие независимые друг от друга параметры, которые однозначно определяют поведение механической системы.

Число обобщенных координат всегда равно числу степеней свободы механической системы.

В качестве обобщенных координат могут быть выбраны любые параметры, имеющие любую размерность.

Например, при изучении движения математического маятника, имеющего одну степень свободы, в качестве обобщенной координаты q могут быть приняты параметры:

x (м), y (м) – координаты точки;

s (м) – длина дуги;

s (м²) – площадь сектора;

j (рад) – угол поворота.

При движении системы ее обобщенные координаты будут с течением времени непрерывно изменяться

. (107)

Уравнения (107) – это уравнения движения системы в обобщенных координатах.

Производные от обобщенных координат по времени называются обобщенными скоростями системы

. (108)

Размерность обобщенной скорости зависит от размерности обобщенной координаты.

q
размерность	наименование	размерность	наименование
м	линейное перемещение	м/с	линейная скорость
рад	угол поворота	рад/с	угловая скорость
м2	площадь сектора	м2/с	секторная скорость

Через обобщенные координаты могут быть выражены любые другие координаты (декартовы, полярные и др.).

Наряду с понятием обобщенной координаты вводится понятие обобщенной силы.

Под обобщенной силой понимают величину равную отношению суммы элементарных работ всех сил, действующих на систему на некотором элементарном приращении обобщенной координаты, к этому приращению

, (109)

где S – индекс обобщенной координаты.

Размерность обобщенной силы зависит от размерности обобщенной координаты.

Для нахождения уравнений движения (107) механической системы с геометрическими связями в обобщенных координатах используются дифференциальные уравнения в форме Лагранжа II рода

. (110)

В (110) кинетическая энергия T системы выражена через обобщенные координаты q_S и обобщенные скорости .

Уравнения Лагранжа дают единый и достаточно простой метод решения задач динамики. Вид и число уравнений не зависит от количества тел (точек), входящих в систему, а только от числа степеней свободы. При идеальных связях эти уравнения позволяют исключить все заранее неизвестные реакции связей.