Уравнение (2.4) задает закон сохранения массы в пористой среде в дифференциальной форме или уравнение неразрывности при фильтрации флюида в пористой среде

Если пористость величина постоянная, то ее выносят за знак производной

(2.5)

Для несжимаемого флюида ρ = const, поэтому уравнение неразрывности будет

.

При выводе интегрального и дифференциального закона сохранения массы, считалось, что в объеме пористой среды нет ни источников, ни стоков флюида, не происходит химических реакций, ни фазовых переходов т.д. Если это не так, то в правую часть уравнения (2.4) необходимо добавить функцию q, которая будет задавать массу флюида, поступающего (исчезающего) в единицу объема:

.

При этом перед qзнак «-» если флюид поступает в объем, и «+» если флюид исчезает из объема.

2.2. Закон сохранения количества движения (импульса) (вывод по Н.Е. Жуковскому)

Уравнение движения идеальной жидкости Эйлера для одномерного течения имеет вид

,

где υ – истинная средняя скорость движения,

f– проекция плотности объемных (массовых) сил на направление движения:

,

где f₁– проекция силы тяжести, которая для горизонтального потока = 0 и , если ось потока наклонена к горизонту под углом α,

f₂– проекция объемной силы трения, обусловленная течением в пористой среде.

Если среда изотропная и просветность является константой, то можно перейти от истинной средней скорости к скорости фильтрации:

Положим, что изменение скорости по времени мало, тогда и им можно пренебречь. Второе слагаемое в левой части, представляющий инерционный член, при малой скорости фильтрации (при выполнении закона Дарси) тоже оказывается очень мало, что им можно пренебречь. Тогда

(2.5)

Выражение (2.5) закон сохранения количества движения (импульса)

Считая, что сила вязкого трения пропорциональна скорости фильтрации в первой степени ρωλ, получим выражение

.

Если положить, что получим закон Дарси – дифференциальное уравнение движения флюида.