Фильтры Бесселя характеризуются максимально гладкой характеристикой групповой задержки в начале координат в S-плоскости. Переходная характеристика фильтров Бесселя имеет весьма малый выброс (обычно менее 1%), причем и импульсная и амплитудная характеристики стремятся к гауссовой кривой по мере увеличения порядка фильтра. Можно показать, что при дискретизации непрерывных фильтров Бесселя методами, рассматриваемыми в данной главе, характерное для этих фильтров свойство максимальной гладкости характеристики групповой задержки, вообще говоря, не сохраняется. Подробно этот вопрос изложен в статье Тайрана.
Передаточная функция фильтров Бесселя записывается в виде:
(15.1)
где Bn(s) — функция Бесселя n-то порядка, а d0 - константа нормирования, равная
(15.2)
Появление функций Бесселя в знаменателе (15.1) является результатом усечения при представлении функции единичной задержки e-s в виде цепной дроби. Функции Бесселя удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению:
|
|
(15.3)
с начальными условиями В0 (s) = 1 и В1 (s) = s + 1. Эти функции можно также представить в виде
, (15.4)
где
(15.5)
Можно показать, что фильтры Бесселя имеют только полюсы, которые расположены на окружности с центром па действительной положительной полуоси s-плоскости.
Рис. 15.1. Амплитудная и фазовая характеристики, а также характеристика групповой задержки аналогового фильтра Бесселя нижних частот.
В отличие от фильтров Баттерворта частота среза фильтров Бесселя Ωс зависит от их порядка, что затрудняет работу с ними. Частоту среза фильтра Бесселя n-го порядка можно найти, анализируя поведение его амплитудной характеристики па высоких частотах. Из формул (15.2) и (15.5) получим:
(15.6)
Чтобы определить асимптотическую частоту среза, найдем такую частоту Ωс, на которой |H(jΩ|=1/2. Соотношение (15.6) дает:
(15.7)
откуда Ωc=d01/ n (15.8)
Для нормирования Ωc величине 1 рад/с разделим все корни фильтра на d01/ n. При этом задержка в фильтре вместо 1 становится равной d01/ n, а уровень амплитудной характеристики на частоте 1 рад/с будет уменьшаться при увеличении порядка фильтра n.
Обычно фильтры Бесселя рассчитывают, задавая порядок фильтра n и частоту среза и отыскивая корни по таблице.
На рис. 15.1 в качестве примера приведены амплитудная (в логарифмическом масштабе) и фазовая характеристики, а также характеристика групповой задержки фильтра Бесселя нижних частот 10-го порядка. Асимптотическая частота среза этого фильтра равна 1000 л рад/с (т. е. 500 Гц).