Метод итераций

Уравнение следует привести к виду . Итерационный процесс сходится при условии на .

Это требование накладывает ограничения на выбор величины k.

Таким образом, k следует выбирать так, чтобы , и знак k совпадал бы со знаком на .

Уточнение корня производится по формуле , где - значение, взятое из промежутка .

Точность вычисления можно оценить из соотношения

, где - точное значение корня,

Теорема

Если функция φ (x) удовлетворяет следующим условиям:

1. φ (x) определена и непрерывна на отрезке [ a,b ];

2. φ (x) [ a,b ], для x [ a,b ];

3. <1, x [ a,b ], то уравнение x= φ (x) имеет на отрезке [ a,b ] единственный корень и последовательность{ x_n }сходится к этому корню независимо от начального значения.

Пример. Отделить корни аналитически и уточнить их методом итераций с точностью до 0,001.

Отделим корни аналитически, для этого найдем критические точки функции, т. е. точки, в которых производная функции обращается в ноль и границы интервала, определим знак функции в них.

Производная в точках .

Составим таблицу знаков

	-∞	1/3		+∞
Sign f(x)	-	+	-	+

Так как наблюдается перемена знака функции, то уравнение имеет три действительных корня. Уменьшаем промежутки, содержащие корни.

	-1	1/3		3,7
Sign f(x)	-	+	-	+

Следовательно, корни следует искать на промежутках [-1;1/3], [1/3;3], [3;3.7].

Найдем корень на промежутке [-1;1/3]. Составим выражение

, подобрав значение k таким, чтобы обеспечить сходимость итерационного процесса на данном промежутке. Для этого вычислим значение производной на концах отрезка . Тогда

В этом случае

Пусть , тогда уточненное значение корня . Вычисления приведены в таблице.

	0,333	-0,415
	-0,415	-0,897
	-0,897	-0,853
	-0,853	-0,871
	-0,871	-0,864
	-0,864	-0,867
	-0,867	-0,866
	-0,866	-0,866
	-0,866	-0,866

На промежутке [-1;1/3] найден корень .

Теперь рассмотрим промежуток [1/3;3]. На границах этого отрезка значения производной равны нулю , а внутри отрезка для всех значений . Вторая производная в точке , значение первой производной в этой точке , тогда значение обеспечит сходимость итерационного процесса.

, .

Вычисления приведены в таблице

	3,000	2,333
	2,333	2,160
	2,160	2,236
	2,236	2,199
	2,199	2,217
	2,217	2,208
	2,208	2,212
	2,212	2,210
	2,210	2,211
	2,211	2,211
	2,211	2,211

На промежутке [1/3;3] найден корень .

Рассмотрим отрезок [3;4], значение производной на концах отрезка , можно взять , тогда

, .

	4,000	3,700
	3,700	3,670
	3,670	3,660
	3,660	3,657
	3,657	3,656
	3,656	3,656
	3,656	3,656

На промежутке [3;4] найден корень .

Пример Решить уравнение , корни отделить графически.

Для отделения корней строим графики функций , точки пересечения этих графиков являются корнями заданного уравнения (рис. 1).

Рис.1.

На графике видно, что уравнение имеет два корня на интервалах [-0,5;0] и [1;1,5]. Уточним эти корни с помощью изученных ранее методов. Результаты использования метода половинного деления на интервале [-0,5;0] приведены в таблице

	-0,5000	0,0000	-0,2500		0,4870
	-0,2500	0,0000	-0,1250		-0,1079
	-0,2500	-0,1250	-0,1875		0,1762
	-0,1875	-0,1250	-0,1563		0,0308
	-0,1563	-0,1250	-0,1407		-0,0393
	-0,1563	-0,1407	-0,1485		-0,0042
	-0,1563	-0,1485	-0,1524		0,0134
	-0,1524	-0,1485	-0,1505		0,0045
	-0,1505	-0,1485	-0,1495		0,0003
	-0,1495	-0,1485	-0,1490		-0,0020
	-0,1495	-0,1490	-0,1493		-0,0009
	-0,1495	-0,1493	-0,1494		-0,0002
	-0,1495	-0,1494	-0,1495		0,0000

В результате найден корень . Аналогично на интервале [1;1,5] ищется корень :

	1,0000	1,5000	1,2500	-0,5192
	1,2500	1,5000	1,3750	-0,1264
	1,3750	1,5000	1,4375	0,0882
	1,3750	1,4375	1,4063	-0,0205
	1,4063	1,4375	1,4219	0,0336
	1,4063	1,4243	1,4153	0,0107
	1,4063	1,4153	1,4108	-0,0049
	1,4108	1,4153	1,4131	0,0029
	1,4108	1,4131	1,4120	-0,0009
	1,4120	1,4131	1,4126	0,0012
	1,4120	1,4126	1,4123	0,0003
	1,4120	1,4123	1,4122	-0,0002
	1,4122	1,4123	1,4123	0,0001

Корни могут быть найдены методом касательных, причем количество итераций, потребовавшихся для отыскания корней, меньше.

0,0000	-0,5973
-0,1707	0,0973
-0,1498	0,0015
-0,1494	0,0000

1,5000	0,3139
1,4151	0,0100
1,4122	0,0000

Корни данного уравнения найдены:

Индивидуальные задания по методам дихотомии, хорд и касательных

Задание 1

Отделить все корни каждого из заданных уравнений. Длина каждого из интервалов, содержащего корень, должна быть не больше единицы.

Номер варианта	Уравнение
1.	x3- x2-7x=0	ex-5x+2cosx=0
2.	x3- x2-5x-6=0	10x+5-ex=0
3.	x3+3 x2-2x-3=0	x-0,3sinx+1=0
4.	x4-2x3- x2+6x-1=0	tgx+x-3=0, x [ 0, 2 ]
5.	x3+7 x2+x-1=0	arctgx-3x+5=0
6.	3x3+2 x2-3x-1=0	2lnx-3x+ex=0
7.	x3+3 x2-12x+3=0	e-x+x2-6x+2=0
8.	x4+2x3- x2-6x-1=0	x-10lnx+4=0
9.	x3+10 x2-2x-3=0	ex+x2(x+1)-1-10=0
10.	4x4-3x3-x-5=0	xsinx+8-ex=0
11.	x3+5 x2+x-11=0	e2x- -x2=0
12.	x3+10 x2+3x+15=0	ex-10sinx-5=0, x>-
13.	5x4+x3+3x2-4=0	2sin3x-3cosx-cos3x+1=0, 0 x 2
14.	x3-7 x2-2x+3=0	ln(1+x)-(1-x)-1+3-x2=0
15.	x3+4 x2+3x+5=0	cosx-0,1x-0,3=0, x [ , 2 ]
16.	x4-3x-5=0	e2x-tgx+x2-2=0, x [0, [
17.	x4+5x3-4x+1=0	tgx+x2-1=0,, x ] , [
18.	x3+ x2-7x+4=0	ex-x3+8x2-20x-2=0
19.	x3-6x2-4x+20=0	(x+5) -6=0
20.	x3+ x2-17x+10=0	2sinx-3cos5x-(1+x2)-1=0, 0 x 2
21.	x3+5x2+x-1=0	5x+2cosx+e-x=0
22.	x3+10 x2+3x-12=0	x+0,3sinx-1=0
23.	x3+15 x2+22x+13=0	5-10x+ex=0
24.	x4-6x3+11x2-2x-5=0	3-x-tgx=o, x [ 0, 2 ]
25.	x3+3 x2+12x-1=0	ex+x2+6x+2=0
26.	x3+13 x2-41x+37=0	-3x2-arctgx+4=0
27.	x3+20 x2+41x+25=0	3x+e-x+2 =0
28.	x4-2x3-x2-2x+3=0	x+10 -4=0
29.	x3+16 x2+50x+41=0	e-x+x2(x-1)-1-10=0
30.	4x4-16x3+21x2-11x-3=0	8+xsinx-e-x=0, x 4

Задание 2

Найти наибольший корень уравнения с погрешностью, не превышающей 5*10^-6, используя

1) метод деления отрезка пополам;

2) комбинированный метод хорд и касательных;

3) метод итераций.

Указание:

1) Произвести проверку выполнения всех условий применимости каждого метода.

2) Первые два приближения по каждому из методов вычислить «вручную», результат оформить в виде таблицы.

3) Расчет корня с заданной точностью произвести, используя компьютерные программы, разработанные для каждого метода. Текст и результат работы программ привести в отчете.

Номер варианта	Уравнение	Номер варианта	Уравнение
	e3x-10x2-5=0		x3-2x2+10x-4=0
	sinx-x2+5=0		ex-5x+2=0
	x3-x2+3x+3=0		x3-3x2+2x-3=0
	x3-x2-5x-1=0		x3-e-3x+2=0
	x3-4x2+6x-5=0		x3-4x2+3x-5=0
	x4sinx-1=0		5x-sinx-10=0
	x4-3x2+2x-1=0		x3-x2+3x-2=0
	ex+10cosx-10=0		x3+5x2+x-1=0
	2 -e3x-x3=0		x3-cosx-2x=0
	x3-6x2+2x-1=0		x3-2x2+5x+3=0
	9cosx-3+x=0		x3-4x2-3x-5=0
	x4-6x3+5x2-1=0		x3+3x2-5x+4=0
	esinx-2+2x=0		5x-sinx-cos0,5x-10=0
	x4-3x3+2x-1=0		x3-2x2+6x-1=0
	x3-ecosx-1=0		3sin2x-3 -10x+7=0