Пусть существуют и
Теорема1: Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
Пример:
Теорема2: Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов.
Пример:
Теорема3: Предел произведения двух функций равен произведению их пределов.
Пример:
Теорема4: Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если он не равен нулю.
Теорема5: Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела.
Пример:
Теорема6 «Первый замечательный предел»:
Пример:
Теорема7 «Второй замечательный предел»:
и
А |
Д |
С |
L |
x0 |
x0+∆x |
∆x=dx |
df(x) |
∆f(x) |
tg α = f ’(x0) = k - геометрический смысл производной функции в точке.
Физический смысл производной функции в точке: производная от координаты по времени есть скорость: , производная от скорости по времени есть ускорение:
Таблица основных формул дифференцирования:
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11
12. 13. 14. 15.
Правила дифференцирования:
1) 2)
3) 4)
5)
Производная высшего порядка: Второй производной функции y=f(x) называется: у" = (у')'. Третьей производной функции у=f(х) называется: у'" = (у")'.
Производной n-го порядка функции y=f(x) называется: у(п) = (уn-1)'.
Пусть задана функция z = f(x;y).
Если существует предел , то он называется частной производной функции z = f(x; у) в точке M(x;y) по переменной х и обозначается одним из символов:
Частные производные по x в точке M0(x0;y0) обычно обозначают символами
Аналогично определяется и обозначается частная производная от z = f(x; у) по переменной y
Частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции f(x;y) находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом соответственно х или у считается постоянной величиной).
Пример 1. Найти частные производные функции
Решение:
Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной.
Пример2. Найти смешанные частные производные второго порядка функции
Решение: Так как и , то
и
Полный дифференциал функции 1-го порядка:
Полный дифференциал функции 2-го порядка определяется по формуле , т.е.