Расстояние от точки до плоскости

1.3.1. Если N (x ₀, y ₀, z ₀) и П: Ax + By + Cz + D =0 - произвольная точка и плоскость соответственно, то расстояние r (N, П) от точки N до плоскости П можно вычислить по формуле

r (N, П)= . (1.8)

1.3.2. Упражнения. 1) Найти расстояние от точки N до плоскости П:

а) N (2; -1; 3), П: 4 x -3 y +2 z +8=0;

б) N (3; 2; -2), П: 2 x +4 y -3 z -9=0;

а) N (-3; -2; 1), П: 5 x - y +4 z -8=0.

Решение. а) По формуле (1.8) имеем

r (N, П)= = .

Ответ: а) .

2) Даны точки A ₁, A ₂, A ₃, A ₄. Найти: 1) уравнения плоскости A ₁ A ₂ A ₃ в параметрической форме и общем виде; 2) расстояние от точки A ₄ до плоскости A ₁ A ₂ A ₃; 3) написать уравнение плоскости, проходящей через точку A ₂ перпендикулярно вектору :

а) A ₁(4, 3, -6), A ₂(2, 4, -2), A ₃(-1, 2, -2), A ₄(3, 2, -1);

б) A ₁(2, 2, -2), A ₂(3, -2, 4), A ₃(2, 2, 8), A ₄(2, 1, -4);

в) A ₁(3, -4, 5), A ₂(4, -5, -6), A ₃(1, -2, -3), A ₄(8, 1, -2).

Решение. а) 1) Параметрические уравнения плоскости A ₁ A ₂ A ₃ имеют вид (2.3), где в качестве векторов =(a_x, a_y, a_z) и =(b_x, b_y, b_z) можно взять, например, и , а в качестве точки N (x ₀, y ₀, z ₀) - точку A ₁(4, 3, -6). Имеем =(2-4; 4-3; -2-(-6))=(-2; 1; 4), =(-1-4; 2-3; -2-(-6))=(-5; -1; 4), то есть =(-2; 1; 4), =(-5; -1; 4). Поэтому

- параметрические уравнения плоскости A ₁ A ₂ A ₃.

Для написания уравнения плоскости A ₁ A ₂ A ₃ в общем виде Ax + By + Cz + D =0 напишем его в виде (2.4):

=0.

Теперь, расписав определитель в левой части и приведя подобные относительно x, y, z, получим общее уравнение плоскости:

=(x -4)×1×4+(-2)×(-1)×(z +6)+(-5)×(y -3)×(-1)-

-(-5)×1×(z +6)-(-2)×(y -3)×4-(x -4)×(-1)×(-1)=

=4(x -4)+2(z +6)+5(y -3)+5(z +6)+8(y -3)-(x -4)=3 x -12+7 z +42+13 y -39=

=3 x +13 y +7 z -9,

то есть 3 x +13 y +7 z -9=0 - общее уравнение плоскости A ₁ A ₂ A ₃.

2) Расстояние от точки A ₄ до плоскости A ₁ A ₂ A ₃ ищем по формуле (2.8), где N (x ₀, y ₀, z ₀)= A ₄(3, 2, -1), Ax + By + Cz + D =3 x +13 y +7 z -9:

r (A ₄, A ₁ A ₂ A ₃)= = »1,261.

3) Так как =(-5; -1; 4), то по формуле (2.1) имеем цепочку равносильностей:

-5(x -2)-(y -4)+4(z -(-2))=0 Û 5(x -2)+(y -4)-4(z +2)=0 Û 5 x + y -4 z -22=0.

Отсюда 5 x + y -4 z -22=0 искомое уравнение плоскости.

Ответ: а) 1) - параметрические уравнения плоскости A ₁ A ₂ A ₃, 3 x +13 y +7 z -9=0 - её общее уравнение; 2)»1,261 - расстояние от точки A ₄ до плоскости A ₁ A ₂ A ₃; 3) 5 x + y -4 z -22=0 - уравнение плоскости, проходящей через точку A ₂ перпендикулярно вектору .