Сглаживание и фильтрация

Если ис­ходный временной ряд содержит некоторые частоты или периоды, которые в данный момент не представляют интереса для исследо­вания, амплитуда этих волн может быть уменьшена с помощью статистической фильтрации. При этом изменяется спектр исход­ного временного ряда.

Одной из форм статистической фильтрации является сглаживание. В результате сглаживания создается временной ряд, в котором спектральные компо­ненты с высокой частотой уменьшены. Такой фильтр называется низкочастотным, так как сглаживание слабо влияет на волны с низкой частотой, т. е. на длиннопериодные волны.

Существуют и другие типы фильтров. Есть фильтры, которые позволяют отфильтровать низкие частоты, оставив в ряде только волны высокой частоты. Этот тип фильтра называется высокочастотным.

Можно отфильтровать как низкие, так и высокие частоты, оставив во временном ряде только средние частоты. Такой фильтр называется фильтром пропускания полос. Наконец, можно разработать статистические фильтры, которые будут усиливать во временном ряде волны высокой частоты таким образом, чтобы ча­стично компенсировать эффект предыдущего сглаживания того же ряда. Этот процесс называется «разглаживанием» или «обрат­ным сглаживанием».

Простейшим статистиче­ским фильтром, или, как его называют, фильтрующей функцией, является скользящая средняя с равными весами. Скользящее среднее рассчи­тывается путем суммирования n последовательных величин времен­ного ряда и делением полученной суммы на n. При расчете этих средних используются данные с обеих сторон сглаживаемых зна­чений ряда, так что величины, использованные для расчетов сосед­них скользящих средних, значительно перекрываются. Поэтому та­кой тип скользящих средних называют также перекрывающимися средними. В данном случае все веса фильтра одинаковы и равны 1/ n.

Чтобы сохранить симметрию обычно используют нечетное значение n: 3, 5, 7… и. т. д., а сглаженное значение относят к центру интервала осреднения.

Так, например, отфильтрованное значение 14.60 в таблице 6.2 получено как среднее из первых 5 значений: (16 + 15 + 12 + 13 +17)/5 = 14.60.

Таблица 6.2

Сглаживание временного ряда скользящим средним с равными весами при n = 5

Временной ряд	Отфильтрованные величины
	14.60
	15.40

В процессе анализа желательно знать, как фильтрация влияет на амплитуду волн временного ряда. Иными словами, как меня­ется спектр исходного временного ряда в результате фильтрации. Ответ на этот вопрос можно получить, если рассчитать частотную характеристику фильтра, которая представляет собой отношение амплитуды колебания данной частоты после фильтрации к исход­ной амплитуде до фильтрации. Это отношение меняется с часто­той. Например, частотная характеристика сглаживающей функции меняется примерно от единицы (для низких частот) до нуля (для вы­соких).

Частотная характеристика любой дискретной симметричной сглаживающей или фильтрующей функции выражается следующим равенством:

, (6.99)

где H (w) – частотная характеристика; w – частота; w_k – k -тый вес, причем число k отсчитывается от главного весового ко­эффициента w ₀; D t – интервал времени между последовательными наблюдениями во временном ряде.

Для скользящего среднего с одинако­выми весами формула принимает вид:

, (6.100)

где T – интервал, за который осредняются значения временного ряда. На рис. 6.10. приведено графическое изображение этой функции.

Рис.6.10. График частотной характеристики скользящего среднего с равными весами.

Следует отметить, что для некоторых частот частотная характеристика отрицательна: не только амплитуды волн в этом интервале уменьшаются, но и их экстремумы становятся обратными, т. е. максимумы превращаются в минимумы и наоборот.

Этот недостаток скользящих средних с одинаковым весом можно устранить, применив сглаживающие функции, которые имеют веса, убывающие при удалении от цен­трального веса в каждом направлении пропорционально ордина­там кривой нормального распределения вероятностей.

Можно рассчитать сглаживающие функции, которые приблизительно будут иметь форму нормального распределения, путем выбора весов биномиальных коэффициентов по формуле

, (6.101)

где m – порядковый номер весового коэффициента, который изменяется от 0 до N. Чтобы фильтрующая функция оставалась симметричной N должно быть четным.

Поскольку сумма весовых коэффициентов сглаживающей функции должна равняться единице, весовые коэффициенты получают по формуле:

. (6.102)

По мере возрастания N распределение этих коэффициентов при­ближается по форме к нормальной кривой. При N = 4 биномиаль­ные коэффициенты для т = 0, 1, 2, 3, 4 равны 1, 4, 6, 4, 1, веса сглаживающей функции будут равны соответственно 1/16, 4/16, 6/16, 4/16, 1/16, т. е. 0.0625, 0.250, 0.375, 0.250 и 0.0625.

Фильтр, весовые коэффициенты которого определяются с использованием формул (6.101, 6.102), называется биномиальным фильтром. Пример использования биномиального фильтра представлен в таблице 6.3.

Отфильтрованное значение 13.56 в таблице 6.2 получено как сумма произведений: (0.0625 ´ 16) + (0.250 ´ 15) + (0.375 ´ 12) + (0.250 ´ 13) + (0.0625 ´ 17).

Таблица 6.3

Сглаживание временного ряда биномиальным фильтром с коэффициентами w_m =0.0625, 0.250, 0.375, 0.250, 0.0625

Временной ряд	Отфильтрованные величины
	13.56
	14.31

Еще один вид сглаживания – экспоненциальное сглаживание. Оно называется экспонен­циальным, так как вклад различных величин временного ряда в полученную на выходе сглаженную величину экспоненциально убывает в зависимости от интервала времени, прошедшего до мо­мента, к которому отнесена осредненная величина. Будущие зна­чения временного ряда не вносят никакого вклада.

Все фи­зические приборы с постоянными коэффициентами инерции (по­стоянными времени) осредняют измеряемую величину по экспо­ненте. Ртутный термометр имеет почти постоянный коэффициент запаздывания и является примером прибора, который производит экспоненциальное сглаживание.

Поскольку весовые коэффициенты этого типа фильтра не являются симметричными относительно момента времени, к которому отно­сится фильтрованная переменная, как это было в случае других ранее описанных фильтров, этот фильтр сдвигает фазу волн временного ряда, полученного на выходе, относительно фазы волн той же частоты в исходном ряде. Этот сдвиг фаз яв­ляется функцией частоты и выражается следующим образом:

, (6.103)

где l – постоянная времени. Угол j всегда отрицателен и лежит в пределах от 0 до 90°. Таким образом, при экспоненциальном сглаживании фильтрованные волны всегда запаздывают по сравнению с исходными.