Введение. Данное пособие представляет собой конспект лекций по аналитической геометрии, которые читались на факультете математики Кобельским Виктором Леонидовичем

Данное пособие представляет собой конспект лекций по аналитической геометрии, которые читались на факультете математики Кобельским Виктором Леонидовичем студентам специальности «050201 математики» и направления «050200 физико-математическое образование».

Лекционный теоретический материал снабжен сериями упражнений и задач.

Рекомендуется для студентов математических и технических специальностей и направлений.

Принятые обозначения:

R – поле действительных чисел

Rⁿ – прямое произведение n экземпляров множества R

Eⁿ –

при n = 1 евклидова прямая

при n = 2 евклидова плоскость

при n = 3 евклидово пространство

на котором определена функция расстояния*.

*Замечание. Будем говорить, что на множестве E¹ введена функция расстояния, если определено такое отображение r: E¹´ E¹ ® R, что:

1. r - неотрицательная функция: r (A,B) ³ 0 для любых двух точек A,B, Î E¹;

и r(A,B) = 0 Û A = B

2. r - симметричная функция: r (A,B) = r(B,A) для любых двух точек A,BÎ E¹;

3. «Неравенство треугольника»: r(A,B) + r (B,C) ³ r(A,C) для любых трех точек A,B,СÎ E¹; и r(A,B) + r (B,C) = r(A,C) Û точка B лежит между точками A и C;

4. Существуют точки A,B Î E¹ такие, что r (A,B) = 1.

Расстоянием между точками A и B и длиной отрезка [AB] называю значение функции r(A,B).

Чаще всего длину отрезка [AB] обозначают |AB|, то есть по определению |AB| = r(A,B).

Отрезок, длина которого равна единице, называют единичным отрезком.

В рамках аксиоматического построения геометрии (евклидовой) доказываются следующие факты:

- Два отрезка равны тогда, и только тогда когда равны их длины.

- На любом луче можно отложить отрезок любой наперед заданной длины, и при том единственным образом, то есть для любого числа r ³ 0 на любом луче существует ровно одна точка A такая, что |OA| = r, где O - начало луча l.

|| || = , где Î Rⁿ и = (x₁, …, x_n);