Признаки равенства треугольников (доказательство всех)

1) по двум сторонам и углу между ними

Доказательство:

Пусть у треугольников АВС и А₁В₁С₁ угол A равен углу А₁, АВ равно А₁В_1, АС равно А₁С₁. Докажем, что треугольники равны.

Наложим треугольник ABC (либо симметричный ему) на треугольник A₁B₁C₁ так, чтобы угол A совместился с углом A₁. Так как АВ=А₁В₁, а АС=А₁С₁, то B совпадёт с В₁, а C совпадёт с С_1. Значит, треугольник А₁В₁С₁ совпадает с треугольником АВС, а следовательно, равен треугольнику АВС.

Теорема доказана.

2) по стороне и прилежащим к ней углам

Доказательство:

ПустьАВС и А₁В₁С_{1 –} два треугольника, у которых АВ равно А₁В_1, угол А равен углу А₁, и угол В равен углу В₁. Докажем, что они равны.

Наложим треугольник ABC (либо симметричный ему) на треугольник A₁B₁C₁ так, чтобы AB совпало с A₁B_1. Так как ∠ВАС =∠В₁А₁С₁ и ∠АВС=∠А₁В₁С₁, то луч АС совпадёт с А₁С₁, а ВС совпадёт с В₁С₁. Отсюда следует, что вершина C совпадёт с С_1. Значит, треугольник А₁В₁С₁ совпадает с треугольником АВС, а следовательно, равен треугольнику АВС.

Теорема доказана.

3) по трём сторонам

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ABC и A_lB_lC_1, у которых АВ=А₁В₁, BC = B_lC₁ СА=С₁А_1. Докажем, что ΔАВС =ΔA₁B₁C₁.

Приложим треугольник ABC (либо симметричный ему) к треугольнику A₁B₁C₁ так, чтобы вершина А совместилась с вершиной A₁, вершина В — с вершиной В₁, а вершины С и С₁, оказались по разные стороны от прямой А₁В₁. Рассмотрим 3 случая:

1) Луч С₁С про­ходит внутри угла А₁С₁В₁. Так как по условию теоремы стороны АС и A₁C₁, ВС и В₁С₁ равны, то треугольники A₁C₁C и В₁С₁С — равнобедренные. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, поэтому ∠ACB=∠A₁C₁B₁.

2) Луч С₁С совпадает с одной из сторон этого угла. A лежит на CC₁. AC=A₁C₁, BC=B₁C₁, C₁BC – равнобедренный, ∠ACB=∠A₁C₁B₁.

3) Луч C₁C проходит вне угла А₁С₁В₁. AC=A₁C₁, BC=B₁C₁, значит, ∠1 = ∠2, ∠1+∠3 = ∠2+∠4, ∠ACB=∠A₁C₁B₁.

Итак, AC=A₁C₁, BC=B₁C₁, ∠C=∠C₁. Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по
первому признаку равенства треугольников.

Теорема доказана.

2. Деление отрезка на n равных частей.

Провести луч через A, отложить на нём n равных отрезков. Через B и A_n провести прямую и к ней параллельные через точки A₁ – A_n-1. Отметим их точки пересечения с AB. Получим n отрезков, которые равны по теореме Фалеса.

Теорема Фалеса. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Доказательство. AB=CD

1. Проведём через точки A и C прямые, параллельные другой стороне угла. Получим два параллелограмма AB₂B₁A₁ и CD₂D₁C₁. Согласно свойству параллелограмма: AB₂ = A₁B₁ и CD₂ = C₁D₁.

2. ΔABB₂=ΔCDD₂ ABB₂ CDD₂ BAB₂ DCD₂ и равны на основании второго признака равенства треугольников:
AB = CD согласно условию теоремы,
как соответственные, образовавшиеся при пересечении параллельных BB₁ и DD₁ прямой BD.

3. Аналогично каждый из углов и оказывается равным углу с вершиной в точке пересечения секущих. AB₂ = CD₂ как соответственные элементы в равных треугольниках.

4. A₁B₁ = AB₂ = CD₂ = C₁D₁