Тренировочные задачи

Пример 7. Двое рабочих выполнили работу за два дня. Если бы первый рабочий проработал 2 дня, а второй 1 день, то они вместе выполнили бы всей работы. За сколько дней выполнит эту работу первый рабочий? Решение:

	V (объем работы)	v (производительность)	t (время работы)
Вместе	V = 1	х + у
1-й рабочий	2х	х
2-й рабочий	1у	у

Обозначим всю работу за 1, производительность первого рабочего за х, а производительность второго рабочего за у. Тогда, совместная производительность равна х + у. А на выполнение всей работы им потребуется 1/(х +у) дней, по условию: . За два дня первый рабочий сделает 2х, а второй рабочий — 1у, всего они выполнят 2х + у = 5/6. Получили систему: . Решая эту систему, найдем производительности рабочих: . Тогда время, которое затратит первый рабочий на выполнение всей работы равно: дня. Ответ: 3.

Пример 8. Ученик прочел книгу в 480 страниц, ежедневно читая одинаковое количество страниц. Если бы он читал каждый день на 16 страниц больше, то прочел бы книгу на 5 дней раньше. Сколько дней ученик читал книгу? Решение:Пусть ученик читал в день x страниц. Тогда он прочитал книгу за дней. Если бы он читал x + 16 страниц в день, то он прочитал бы книгу за дней, что на 5 дней меньше. Получаем уравнение: .Решая его, находим, что ученик в день читал x=32 страницы и прочитал книгу за 15 дней. Ответ: 15.

Пример 9. Двое рабочих выполнили работу менее, чем за 4 часа. Если бы первый выполнял ее в одночку, он сделал бы работу на 6 часов быстрее, чем второй. Какие значения может принимать время выполнения работы первым из рабочих, работающим отдельно? Решение. Обозначим всю работу за 1, производительность первого рабочего за х, а производительность второго рабочего за у. Тогда, совместная производительность равна х + у. А на выполнение всей работы им потребуется дней, по условию: . Время, за которое может выполнить работу первый рабочий выражается: , а время второго: . По условию: .Итак, получили систему: .Так как производительность — величина положительная, то неравенства в системе равносильно следующему: 4x + 4y > 1. Выразим x из уравнения и подставим в неравенство: . Решая это неравенство, получаем: или . Условию соответствует первое неравенство. Следовательно, .

Ответ: время выполнения работы первым из рабочих, работающим отдельно, может принимать значения, не большие не большие 4.

1. B 14 № 26592. Заказ на 110 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий вы­пол­ня­ет на 1 час быст­рее, чем вто­рой. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет вто­рой ра­бо­чий, если из­вест­но, что пер­вый за час де­ла­ет на 1 де­таль боль­ше?

2. B 14 № 26593. Заказ на 156 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий вы­пол­ня­ет на 1 час быст­рее, чем вто­рой. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет пер­вый ра­бо­чий, если из­вест­но, что он за час де­ла­ет на 1 де­таль боль­ше?

3. B 14 № 26594. На из­го­тов­ле­ние 475 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий тра­тит на 6 часов мень­ше, чем вто­рой ра­бо­чий на из­го­тов­ле­ние 550 таких же де­та­лей. Из­вест­но, что пер­вый ра­бо­чий за час де­ла­ет на 3 де­та­ли боль­ше, чем вто­рой. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет пер­вый ра­бо­чий?

4. B 14 № 26595. На из­го­тов­ле­ние 99 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий тра­тит на 2 часа мень­ше, чем вто­рой ра­бо­чий на из­го­тов­ле­ние 110 таких же де­та­лей. Из­вест­но, что пер­вый ра­бо­чий за час де­ла­ет на 1 де­таль боль­ше, чем вто­рой. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет вто­рой ра­бо­чий?

5. B 14 № 26596. Двое ра­бо­чих, ра­бо­тая вме­сте, могут вы­пол­нить ра­бо­ту за 12 дней. За сколь­ко дней, ра­бо­тая от­дель­но, вы­пол­нит эту ра­бо­ту пер­вый ра­бо­чий, если он за два дня вы­пол­ня­ет такую же часть ра­бо­ты, какую вто­рой – за три дня?

6. B 14 № 26597. Пер­вая труба про­пус­ка­ет на 1 литр воды в ми­ну­ту мень­ше, чем вто­рая. Сколь­ко лит­ров воды в ми­ну­ту про­пус­ка­ет пер­вая труба, если ре­зер­ву­ар объ­е­мом 110 лит­ров она за­пол­ня­ет на 1 ми­ну­ту доль­ше, чем вто­рая труба?

7. B 14 № 26598. Пер­вая труба про­пус­ка­ет на 1 литр воды в ми­ну­ту мень­ше, чем вто­рая. Сколь­ко лит­ров воды в ми­ну­ту про­пус­ка­ет вто­рая труба, если ре­зер­ву­ар объ­е­мом 110 лит­ров она за­пол­ня­ет на 1 ми­ну­ту быст­рее, чем пер­вая труба?

8. B 14 № 26599. Пер­вая труба про­пус­ка­ет на 1 литр воды в ми­ну­ту мень­ше, чем вто­рая. Сколь­ко лит­ров воды в ми­ну­ту про­пус­ка­ет пер­вая труба, если ре­зер­ву­ар объ­е­мом 110 лит­ров она за­пол­ня­ет на 2 ми­ну­ты доль­ше, чем вто­рая труба за­пол­ня­ет ре­зер­ву­ар объ­е­мом 99 лит­ров?

9. B 14 № 26600. Пер­вая труба про­пус­ка­ет на 5 лит­ров воды в ми­ну­ту мень­ше, чем вто­рая. Сколь­ко лит­ров воды в ми­ну­ту про­пус­ка­ет вто­рая труба, если ре­зер­ву­ар объ­е­мом 375 лит­ров она за­пол­ня­ет на 10 минут быст­рее, чем пер­вая труба за­пол­ня­ет ре­зер­ву­ар объ­е­мом 500 лит­ров?

10. B 14 № 99613. Каж­дый из двух ра­бо­чих оди­на­ко­вой ква­ли­фи­ка­ции может вы­пол­нить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один из них при­сту­пил к вы­пол­не­нию за­ка­за, к нему при­со­еди­нил­ся вто­рой ра­бо­чий, и ра­бо­ту над за­ка­зом они до­ве­ли до конца уже вме­сте. Сколь­ко часов по­тре­бо­ва­лось на вы­пол­не­ние всего за­ка­за?

11. B 14 № 99614. Один ма­стер может вы­пол­нить заказ за 12 часов, а дру­гой — за 6 часов. За сколь­ко часов вы­пол­нят заказ оба ма­сте­ра, ра­бо­тая вме­сте?

12. B 14 № 99615. Пер­вый насос на­пол­ня­ет бак за 20 минут, вто­рой — за 30 минут, а тре­тий — за 1 час. За сколь­ко минут на­пол­нят бак три на­со­са, ра­бо­тая од­но­вре­мен­но?

13. B 14 № 99616. Игорь и Паша кра­сят забор за 9 часов. Паша и Во­ло­дя кра­сят этот же забор за 12 часов, а Во­ло­дя и Игорь – за 18 часов. За сколь­ко часов маль­чи­ки по­кра­сят забор, ра­бо­тая втро­ем?

14. B 14 № 99617. Даша и Маша про­па­лы­ва­ют гряд­ку за 12 минут, а одна Маша — за 20 минут. За сколь­ко минут про­па­лы­ва­ет гряд­ку одна Даша?

15. B 14 № 99618. Две трубы на­пол­ня­ют бас­сейн за 3 часа 36 минут, а одна пер­вая труба на­пол­ня­ет бас­сейн за 6 часов. За сколь­ко часов на­пол­ня­ет бас­сейн одна вто­рая труба?

B 14 № 99619.

Пер­вая труба на­пол­ня­ет ре­зер­ву­ар на 6 минут доль­ше, чем вто­рая. Обе трубы на­пол­ня­ют этот же ре­зер­ву­ар за 4 ми­ну­ты. За сколь­ко минут на­пол­ня­ет этот ре­зер­ву­ар одна вто­рая труба?

17. B 14 № 99620. В по­мощь са­до­во­му на­со­су, пе­ре­ка­чи­ва­ю­ще­му 5 лит­ров воды за 2 ми­ну­ты, под­клю­чи­ли вто­рой насос, пе­ре­ка­чи­ва­ю­щий тот же объем воды за 3 ми­ну­ты. Сколь­ко минут эти два на­со­са долж­ны ра­бо­тать сов­мест­но, чтобы пе­ре­ка­чать 25 лит­ров воды?

18. B 14 № 99621. Петя и Ваня вы­пол­ня­ют оди­на­ко­вый тест. Петя от­ве­ча­ет за час на 8 во­про­сов тек­ста, а Ваня – на 9. Они од­но­вре­мен­но на­ча­ли от­ве­чать на во­про­сы теста, и Петя за­кон­чил свой тест позже Вани на 20 минут. Сколь­ко во­про­сов со­дер­жит тест?

19. B 14 № 323851. Пли­точ­ник дол­жен уло­жить 175 м² плит­ки. Если он будет укла­ды­вать на 10 м² в день боль­ше, чем за­пла­ни­ро­вал, то за­кон­чит ра­бо­ту на 2 дня рань­ше. Сколь­ко квад­рат­ных мет­ров плит­ки в день пла­ни­ру­ет укла­ды­вать пли­точ­ник?

20. B 14 № 323852. Пер­вый и вто­рой на­со­сы на­пол­ня­ют бас­сейн за 9 минут, вто­рой и тре­тий — за 14 минут, а пер­вый и тре­тий — за 18 минут. За сколь­ко минут эти три на­со­са за­пол­нят бас­сейн, ра­бо­тая вме­сте?

21. B 14 № 323854. Две бри­га­ды, со­сто­я­щие из ра­бо­чих оди­на­ко­вой ква­ли­фи­ка­ции, од­но­вре­мен­но на­ча­ли стро­ить два оди­на­ко­вых дома. В пер­вой бри­га­де было 16 ра­бо­чих, а во вто­рой — 25 ра­бо­чих. Через 7 дней после на­ча­ла ра­бо­ты в первую бри­га­ду пе­ре­шли 8 ра­бо­чих из вто­рой бри­га­ды, в ре­зуль­та­те чего оба дома были по­стро­е­ны од­но­вре­мен­но. Сколь­ко дней по­тре­бо­ва­лось бри­га­дам, чтобы за­кон­чить ра­бо­ту в новом со­ста­ве?

22. B 14 № 504259. Пер­вый и вто­рой на­со­сы на­пол­ня­ют бас­сейн за 10 минут, вто­рой и тре­тий — за 15 минут, а пер­вый и тре­тий — за 24 ми­ну­ты. За сколь­ко минут три эти на­со­са за­пол­нят бас­сейн, ра­бо­тая вме­сте?

23. B 14 № 505384. Пер­вый и вто­рой на­со­сы на­пол­ня­ют бас­сейн за 9 минут, вто­рой и тре­тий — за 12 минут, а пер­вый и тре­тий — за 18 минут. За сколь­ко минут эти три на­со­са за­пол­нят бас­сейн, ра­бо­тая вме­сте?

24. B 14 № 505405. Пер­вый и вто­рой на­со­сы на­пол­ня­ют бас­сейн за 10 минут, вто­рой и тре­тий — за 15 минут, а пер­вый и тре­тий — за 18 минут. За сколь­ко минут эти три на­со­са за­пол­нят бас­сейн, ра­бо­тая вме­сте?

1. B 14 № 26592. Заказ на 110 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий вы­пол­ня­ет на 1 час быст­рее, чем вто­рой. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет вто­рой ра­бо­чий, если из­вест­но, что пер­вый за час де­ла­ет на 1 де­таль боль­ше?

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим — число де­та­лей, ко­то­рые из­го­тав­ли­ва­ет за час вто­рой ра­бо­чий. Тогда пер­вый ра­бо­чий за час из­го­тав­ли­ва­ет де­таль. На из­го­тов­ле­ние 110 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий тра­тит на 1 час мень­ше, чем вто­рой ра­бо­чий, от­сю­да имеем:

Ответ: 10.

2. B 14 № 26593. Заказ на 156 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий вы­пол­ня­ет на 1 час быст­рее, чем вто­рой. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет пер­вый ра­бо­чий, если из­вест­но, что он за час де­ла­ет на 1 де­таль боль­ше?

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим – число де­та­лей, ко­то­рые из­го­тав­ли­ва­ет за час пер­вый ра­бо­чий, тогда вто­рой ра­бо­чий за час из­го­тав­ли­ва­ет де­таль, . На из­го­тов­ле­ние 156 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий тра­тит на 1 час мень­ше, чем вто­рой ра­бо­чий, от­сю­да имеем:

Ответ: 13.

3. B 14 № 26594. На из­го­тов­ле­ние 475 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий тра­тит на 6 часов мень­ше, чем вто­рой ра­бо­чий на из­го­тов­ле­ние 550 таких же де­та­лей. Из­вест­но, что пер­вый ра­бо­чий за час де­ла­ет на 3 де­та­ли боль­ше, чем вто­рой. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет пер­вый ра­бо­чий?

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим – число де­та­лей, ко­то­рые из­го­тав­ли­ва­ет за час пер­вый ра­бо­чий, тогда вто­рой ра­бо­чий за час из­го­тав­ли­ва­ет де­та­лей, . На из­го­тов­ле­ние 475 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий тра­тит на 6 часов мень­ше, чем вто­рой ра­бо­чий на из­го­тов­ле­ние 550 таких же де­та­лей, от­сю­да имеем:

.

Таким об­ра­зом, пер­вый ра­бо­чий де­ла­ет 25 де­та­лей в час

Ответ: 25.

4. B 14 № 26595. На из­го­тов­ле­ние 99 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий тра­тит на 2 часа мень­ше, чем вто­рой ра­бо­чий на из­го­тов­ле­ние 110 таких же де­та­лей. Из­вест­но, что пер­вый ра­бо­чий за час де­ла­ет на 1 де­таль боль­ше, чем вто­рой. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет вто­рой ра­бо­чий?

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим — число де­та­лей, ко­то­рые из­го­тав­ли­ва­ет за час вто­рой ра­бо­чий. Тогда пер­вый ра­бо­чий за час из­го­тав­ли­ва­ет де­таль. На из­го­тов­ле­ние 99 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий тра­тит на 2 часа мень­ше, чем вто­рой ра­бо­чий на из­го­тов­ле­ние 110 таких же де­та­лей, от­сю­да имеем:

.

Таким об­ра­зом, вто­рой ра­бо­чий де­ла­ет 10 де­та­лей в час.

Ответ: 10.

5. B 14 № 26596. Двое ра­бо­чих, ра­бо­тая вме­сте, могут вы­пол­нить ра­бо­ту за 12 дней. За сколь­ко дней, ра­бо­тая от­дель­но, вы­пол­нит эту ра­бо­ту пер­вый ра­бо­чий, если он за два дня вы­пол­ня­ет такую же часть ра­бо­ты, какую вто­рой – за три дня?

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим и – объёмы работ, ко­то­рые вы­пол­ня­ют за день пер­вый и вто­рой ра­бо­чий, со­от­вет­ствен­но, пол­ный объём работ при­мем за 1. Тогда по усло­вию за­да­чи и . Решим по­лу­чен­ную си­сте­му:

Тем самым, пер­вый ра­бо­чий за день вы­пол­ня­ет одну два­дца­тую всей ра­бо­ты, зна­чит, ра­бо­тая от­дель­но, он спра­вит­ся с ней за 20 дней.

Ответ: 20.

6. B 14 № 26597. Пер­вая труба про­пус­ка­ет на 1 литр воды в ми­ну­ту мень­ше, чем вто­рая. Сколь­ко лит­ров воды в ми­ну­ту про­пус­ка­ет пер­вая труба, если ре­зер­ву­ар объ­е­мом 110 лит­ров она за­пол­ня­ет на 1 ми­ну­ту доль­ше, чем вто­рая труба?

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим — ко­ли­че­ство лит­ров воды, про­пус­ка­е­мой пер­вой тру­бой в ми­ну­ту, тогда вто­рая труба про­пус­ка­ет лит­ров воды в ми­ну­ту. Ре­зер­ву­ар объ­е­мом 110 лит­ров пер­вая труба за­пол­ня­ет на 1 ми­ну­ту доль­ше, чем вто­рая труба, от­сю­да имеем:

Таким об­ра­зом, пер­вая труба про­пус­ка­ет 10 лит­ров воды в ми­ну­ту.

Ответ: 10.

7. B 14 № 26598. Пер­вая труба про­пус­ка­ет на 1 литр воды в ми­ну­ту мень­ше, чем вто­рая. Сколь­ко лит­ров воды в ми­ну­ту про­пус­ка­ет вто­рая труба, если ре­зер­ву­ар объ­е­мом 110 лит­ров она за­пол­ня­ет на 1 ми­ну­ту быст­рее, чем пер­вая труба?

Ре­ше­ние.

Пусть лит­ров — объем воды, про­пус­ка­е­мой пер­вой тру­бой в ми­ну­ту, тогда вто­рая труба про­пус­ка­ет лит­ров воды в ми­ну­ту. Ре­зер­ву­ар объ­е­мом 110 лит­ров пер­вая труба за­пол­ня­ет на 1 ми­ну­ту доль­ше, чем вто­рая труба, от­сю­да имеем:

Зна­чит, пер­вая труба про­пус­ка­ет 10, а вто­рая — 11 лит­ров воды в ми­ну­ту.

Ответ: 11.

8. B 14 № 26599. Пер­вая труба про­пус­ка­ет на 1 литр воды в ми­ну­ту мень­ше, чем вто­рая. Сколь­ко лит­ров воды в ми­ну­ту про­пус­ка­ет пер­вая труба, если ре­зер­ву­ар объ­е­мом 110 лит­ров она за­пол­ня­ет на 2 ми­ну­ты доль­ше, чем вто­рая труба за­пол­ня­ет ре­зер­ву­ар объ­е­мом 99 лит­ров?

Ре­ше­ние.

Пусть лит­ров — объем воды, про­пус­ка­е­мой пер­вой тру­бой в ми­ну­ту, тогда вто­рая труба про­пус­ка­ет лит­ров воды в ми­ну­ту. Ре­зер­ву­ар объ­е­мом 110 лит­ров пер­вая труба за­пол­ня­ет на 2 ми­ну­ты доль­ше, чем вто­рая труба за­пол­ня­ет ре­зер­ву­ар объ­е­мом 99 лит­ров, от­сю­да имеем:

.

Зна­чит, пер­вая труба про­пус­ка­ет 10 лит­ров, а вто­рая — 11 лит­ров воды в ми­ну­ту.

Ответ: 10.

9. B 14 № 26600. Пер­вая труба про­пус­ка­ет на 5 лит­ров воды в ми­ну­ту мень­ше, чем вто­рая. Сколь­ко лит­ров воды в ми­ну­ту про­пус­ка­ет вто­рая труба, если ре­зер­ву­ар объ­е­мом 375 лит­ров она за­пол­ня­ет на 10 минут быст­рее, чем пер­вая труба за­пол­ня­ет ре­зер­ву­ар объ­е­мом 500 лит­ров?

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим — объем воды, про­пус­ка­е­мой вто­рой тру­бой в ми­ну­ту, тогда пер­вая труба про­пус­ка­ет лит­ров воды в ми­ну­ту. Из­вест­но, что ре­зер­ву­ар объ­е­мом 375 лит­ров вто­рая труба за­пол­ня­ет на 10 минут быст­рее, чем пер­вая труба за­пол­ня­ет ре­зер­ву­ар объ­е­мом 500 лит­ров, от­сю­да имеем:

Ответ: 25.

10. B 14 № 99613. Каж­дый из двух ра­бо­чих оди­на­ко­вой ква­ли­фи­ка­ции может вы­пол­нить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один из них при­сту­пил к вы­пол­не­нию за­ка­за, к нему при­со­еди­нил­ся вто­рой ра­бо­чий, и ра­бо­ту над за­ка­зом они до­ве­ли до конца уже вме­сте. Сколь­ко часов по­тре­бо­ва­лось на вы­пол­не­ние всего за­ка­за?

Ре­ше­ние.

Ра­бо­чий вы­пол­ня­ет 1/15 часть за­ка­за в час, по­это­му за 3 часа он вы­пол­нит 1/5 часть за­ка­за. После этого к нему при­со­еди­ня­ет­ся вто­рой ра­бо­чий, и, ра­бо­тая вме­сте, два ра­бо­чих долж­ны вы­пол­нить 4/5 за­ка­за. Чтобы опре­де­лить время сов­мест­ной ра­бо­ты, раз­де­лим этот объём ра­бо­ты на сов­мест­ную про­из­во­ди­тель­ность:

часов.

Тем самым, на вы­пол­не­ние всего за­ка­за по­тре­бу­ет­ся 6 + 3 = 9 часов.

Ответ: 9.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Один ра­бо­чий ра­бо­тал 3 часа и дол­жен был бы еще 12, но к нему при­со­еди­нил­ся вто­рой ра­бо­чий, и они стали ра­бо­тать в два раза быст­рее. По­это­му вдво­ем они ра­бо­та­ли толь­ко 6 часов. Зна­чит, пол­ное время ра­бо­ты 9 часов.

11. B 14 № 99614. Один ма­стер может вы­пол­нить заказ за 12 часов, а дру­гой — за 6 часов. За сколь­ко часов вы­пол­нят заказ оба ма­сте­ра, ра­бо­тая вме­сте?

Ре­ше­ние.

Пер­вый ма­стер вы­пол­ня­ет 1/12 ра­бо­ты в час, а вто­рой — 1/6 ра­бо­ты в час. Сле­до­ва­тель­но, ра­бо­тая вме­сте, ма­сте­ра вы­пол­ня­ют ра­бо­ты в час. По­это­му всю ра­бо­ту ма­сте­ра вы­пол­нят за 4 часа.

Дру­гое рас­суж­де­ние.

Время ра­бо­ты равно от­но­ше­нию объёма к ско­ро­сти её вы­пол­не­ния. По­это­му два ма­сте­ра, ра­бо­тая вме­сте, вы­пол­нят заказ за

часа.

Ответ: 4.

12. B 14 № 99615. Пер­вый насос на­пол­ня­ет бак за 20 минут, вто­рой — за 30 минут, а тре­тий — за 1 час. За сколь­ко минут на­пол­нят бак три на­со­са, ра­бо­тая од­но­вре­мен­но?

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим объем бака за 1. Тогда три на­со­са, ра­бо­тая вме­сте, за­пол­нят бак за

минут.

Ответ: 10.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пер­вый насос за ми­ну­ту на­пол­ня­ет одну два­дца­тую бака, вто­рой — одну трид­ца­тую, тре­тий — одну ше­сти­де­ся­тую. Ра­бо­тая вме­сте, за ми­ну­ту они на­пол­нят шесть ше­сти­де­ся­тых или одну де­ся­тую бака. Зна­чит, весь бак на­со­сы на­пол­нят за 10 минут.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

За один час пер­вый насос на­пол­нит 3 бака, вто­рой — 2 бака, а тре­тий — 1 бак. Ра­бо­тая вме­сте, за один час они 6 баков. Зна­чит, один бак на­со­сы на­пол­нят в шесть раз быст­рее, т. е. за 10 минут.

13. B 14 № 99616. Игорь и Паша кра­сят забор за 9 часов. Паша и Во­ло­дя кра­сят этот же забор за 12 часов, а Во­ло­дя и Игорь – за 18 часов. За сколь­ко часов маль­чи­ки по­кра­сят забор, ра­бо­тая втро­ем?

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим вы­пол­ня­е­мую маль­чи­ка­ми ра­бо­ту по по­крас­ке за­бо­ра за 1. Пусть за , , часов Игорь, Паша и Во­ло­дя, со­от­вет­ствен­но, по­кра­сят забор, ра­бо­тая са­мо­сто­я­тель­но. Игорь и Паша кра­сят забор за 9 часов:

Паша и Во­ло­дя кра­сят этот же забор за часов:

,

а Во­ло­дя и Игорь — за 18 часов:

По­лу­ча­ем си­сте­му урав­не­ний:

Про­сум­ми­ру­ем левые и пра­вые части дан­ных трех урав­не­ний, по­лу­чим:

Ответ: 8.

При­ведём ещё одно ре­ше­ние.

За один час Игорь и Паша кра­сят забор за 1/9 за­бо­ра, Паша и Во­ло­дя кра­сят 1/12 за­бо­ра, а Во­ло­дя и Игорь — за 1/18 за­бо­ра. Ра­бо­тая вме­сте, за один час два Игоря, Паши и Во­ло­ди по­кра­си­ли бы:

за­бо­ра.

Тем самым, они могли бы по­кра­сить один забор за 4 часа. По­сколь­ку каж­дый из маль­чи­ков был учтен два раза, в ре­аль­но­сти Игорь, Паша и Во­ло­дя могут по­кра­сить забор за 8 часов.

При­ме­ча­ние Дмит­рия Гу­щи­на.

За­ме­тим, что за 36 часов Игорь и Паша могут по­кра­сить 4 за­бо­ра, Паша и Во­ло­дя — 3 за­бо­ра, а Во­ло­дя и Игорь — 2 за­бо­ра. Ра­бо­тая вме­сте, за 36 часов они могли бы по­кра­сить 9 за­бо­ров. Сле­до­ва­тель­но, один забор два Игоря, два Паши и два Во­ло­ди могут по­кра­сить за 4 часа. По­это­му, ра­бо­тая втро­ем, Игорь, Паша и Во­ло­дя по­кра­сят забор за 8 часов.

14. B 14 № 99617. Даша и Маша про­па­лы­ва­ют гряд­ку за 12 минут, а одна Маша — за 20 минут. За сколь­ко минут про­па­лы­ва­ет гряд­ку одна Даша?

Ре­ше­ние.

За ми­ну­ту Маша про­па­лы­ва­ет одну два­дца­тую гряд­ки, а Маша с Дашей вме­сте — одну две­на­дца­тую. По­это­му за одну ми­ну­ту Даша про­па­лы­ва­ет гряд­ки. Всю гряд­ку она про­по­лет за 30 минут.

Ответ: 30.

15. B 14 № 99618. Две трубы на­пол­ня­ют бас­сейн за 3 часа 36 минут, а одна пер­вая труба на­пол­ня­ет бас­сейн за 6 часов. За сколь­ко часов на­пол­ня­ет бас­сейн одна вто­рая труба?

Ре­ше­ние.

Пусть объем бас­сей­на равен 1. Обо­зна­чим и — ско­ро­сти на­пол­не­ния бас­сей­на пер­вой и вто­рой тру­бой, со­от­вет­ствен­но. Две трубы на­пол­ня­ют бас­сейн за 3 часа 36 минут:

.

По усло­вию за­да­чи одна пер­вая труба на­пол­ня­ет бас­сейн за 6 часов, то есть . Таким об­ра­зом,

.

Тем самым, вто­рая труба за час на­пол­ня­ет 1/9 бас­сей­на, зна­чит, вто­рая труба на­пол­ня­ет этот бас­сейн за 9 часов.

Ответ: 9.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пер­вая труба за час на­пол­ня­ет 1/6 бас­сей­на, зна­чит, за 3 ч 36 мин = 3,6 часа она за­пол­нит 0,6 бас­сей­на. Сле­до­ва­тель­но, вто­рая труба за 3,6 часа за­пол­нит 0,4 бас­сей­на. По­это­му весь бас­сейн она за­пол­нит за время 3,6:0,4 = 9 часов.

B 14 № 99619.

Пер­вая труба на­пол­ня­ет ре­зер­ву­ар на 6 минут доль­ше, чем вто­рая. Обе трубы на­пол­ня­ют этот же ре­зер­ву­ар за 4 ми­ну­ты. За сколь­ко минут на­пол­ня­ет этот ре­зер­ву­ар одна вто­рая труба?

Ре­ше­ние.

Пусть вто­рая труба на­пол­ня­ет ре­зер­ву­ар за x минут, а пер­вая — за x + 6 минут. В одну ми­ну­ту они на­пол­ня­ют со­от­вет­ствен­но и часть ре­зер­ву­а­ра. По­сколь­ку за 4 ми­ну­ты обе трубы за­пол­ня­ют весь ре­зер­ву­ар, за одну ми­ну­ту они на­пол­ня­е­ют одну чет­вер­тую часть ре­зер­ву­а­ра:

.

Далее можно ре­шать по­лу­чен­ное урав­не­ние. Но можно за­ме­тить, что при по­ло­жи­тель­ных x функ­ция, на­хо­дя­ща­я­ся в левой части урав­не­ния, убы­ва­ет. По­это­му оче­вид­ное ре­ше­ние урав­не­ния — един­ствен­но. По­сколь­ку вто­рая труба за­пол­ня­ет ре­зер­ву­а­ра в ми­ну­ту, она за­пол­нит весь ре­зер­ву­ар за 6 минут.

Ответ: 6.

17. B 14 № 99620. В по­мощь са­до­во­му на­со­су, пе­ре­ка­чи­ва­ю­ще­му 5 лит­ров воды за 2 ми­ну­ты, под­клю­чи­ли вто­рой насос, пе­ре­ка­чи­ва­ю­щий тот же объем воды за 3 ми­ну­ты. Сколь­ко минут эти два на­со­са долж­ны ра­бо­тать сов­мест­но, чтобы пе­ре­ка­чать 25 лит­ров воды?

Ре­ше­ние.

Ско­рость сов­мест­ной ра­бо­ты на­со­сов

.

Для того, чтобы пе­ре­ка­чать 25 лит­ров воды, по­на­до­бит­ся

мин мин.

Ответ: 6.

18. B 14 № 99621. Петя и Ваня вы­пол­ня­ют оди­на­ко­вый тест. Петя от­ве­ча­ет за час на 8 во­про­сов тек­ста, а Ваня – на 9. Они од­но­вре­мен­но на­ча­ли от­ве­чать на во­про­сы теста, и Петя за­кон­чил свой тест позже Вани на 20 минут. Сколь­ко во­про­сов со­дер­жит тест?

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим N — число во­про­сов теста. Тогда время, не­об­хо­ди­мое Пете, равно часа, а время, не­об­хо­ди­мое Ване, равно часа. Петя за­кон­чил от­ве­чать на тест через часа после Вани. По­это­му:

Ответ: 24.

19. B 14 № 323851. Пли­точ­ник дол­жен уло­жить 175 м² плит­ки. Если он будет укла­ды­вать на 10 м² в день боль­ше, чем за­пла­ни­ро­вал, то за­кон­чит ра­бо­ту на 2 дня рань­ше. Сколь­ко квад­рат­ных мет­ров плит­ки в день пла­ни­ру­ет укла­ды­вать пли­точ­ник?

Ре­ше­ние.

Пусть по плану пли­точ­ник дол­жен был укла­ды­вать кв. м. плит­ки в те­че­ние дней. Если он будет укла­ды­вать кв. м. плит­ки в те­че­ние дней, то вы­пол­нит ту же ра­бо­ту. По­сколь­ку всего нужно уло­жить 175 кв. м. плит­ки, имеем си­сте­му урав­не­ний:

Таким об­ра­зом, пли­точ­ник пла­ни­ро­вал в те­че­ние 7 дней укла­ды­вать по 25 кв. м. плит­ки в день.

Ответ: 25.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Пусть пли­точ­ник за­пла­ни­ро­вал укла­ды­вать кв. м плит­ки в день и спра­вить­ся с ра­бо­той за дней. Если укла­ды­вать кв. м. плит­ки в день, то ра­бо­та будет вы­пол­не­на за дня. Имеем:

Таким об­ра­зом, пли­точ­ник пла­ни­ру­ет укла­ды­вать по 25 кв. м плит­ки в день.

20. B 14 № 323852. Пер­вый и вто­рой на­со­сы на­пол­ня­ют бас­сейн за 9 минут, вто­рой и тре­тий — за 14 минут, а пер­вый и тре­тий — за 18 минут. За сколь­ко минут эти три на­со­са за­пол­нят бас­сейн, ра­бо­тая вме­сте?

Ре­ше­ние.

Наи­мень­шее общее крат­ное чисел 9, 14 и 18 равно 126. За 126 минут пер­вый и вто­рой, вто­рой и тре­тий, пер­вый и тре­тий на­со­сы (каж­дый учтен два­жды) за­пол­нят 14 + 9 + 7 = 30 бас­сей­нов. Сле­до­ва­тель­но, ра­бо­тая од­но­вре­мен­но, пер­вый, вто­рой и тре­тий на­со­сы за­пол­ня­ют 15 бас­сей­нов за 126 минут, а зна­чит, 1 бас­сейн за 8,4 ми­ну­ты.

Ответ: 8,4.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

За одну ми­ну­ту пер­вый и вто­рой на­со­сы за­пол­нят 1/9 бас­сей­на, вто­рой и тре­тий — 1/14 бас­сей­на, а пер­вый и тре­тий — 1/18 бас­сей­на. Ра­бо­тая вме­сте, за одну ми­ну­ту два пер­вых, два вто­рых и два тре­тьих на­со­са за­пол­нят

бас­сей­на.

Тем самым, они могли бы за­пол­нить бас­сейн за 21/5 ми­ну­ты или за 4,2 ми­ну­ты. По­сколь­ку каж­дый из на­со­сов был учтен два раза, в ре­аль­но­сти пер­вый, вто­рой и тре­тий на­со­сы, ра­бо­тая вме­сте, могут за­пол­нить бас­сейн за 8,4 ми­ну­ты.

21. B 14 № 323854. Две бри­га­ды, со­сто­я­щие из ра­бо­чих оди­на­ко­вой ква­ли­фи­ка­ции, од­но­вре­мен­но на­ча­ли стро­ить два оди­на­ко­вых дома. В пер­вой бри­га­де было 16 ра­бо­чих, а во вто­рой — 25 ра­бо­чих. Через 7 дней после на­ча­ла ра­бо­ты в первую бри­га­ду пе­ре­шли 8 ра­бо­чих из вто­рой бри­га­ды, в ре­зуль­та­те чего оба дома были по­стро­е­ны од­но­вре­мен­но. Сколь­ко дней по­тре­бо­ва­лось бри­га­дам, чтобы за­кон­чить ра­бо­ту в новом со­ста­ве?

Ре­ше­ние.

Пусть про­из­во­ди­тель­ность каж­до­го из ра­бо­чих равна дома в день, и пусть в новом со­ста­ве бри­га­ды до­стра­и­ва­ли дома дней. Тогда за пер­вые 7 дней ра­бо­ты бри­га­да­ми в 16 и 25 че­ло­век было по­стро­е­но и ча­стей домов, а за сле­ду­ю­щие дней бри­га­да­ми в 24 че­ло­ве­ка и 17 че­ло­век были по­стро­е­ны остав­ши­е­ся и части домов. По­сколь­ку в ре­зуль­та­те были це­ли­ком по­стро­е­ны два дома, имеем:

Тем самым, в новом со­ста­ве бри­га­ды ра­бо­та­ли 9 дней.

Ответ: 9.

22. B 14 № 504259. Пер­вый и вто­рой на­со­сы на­пол­ня­ют бас­сейн за 10 минут, вто­рой и тре­тий — за 15 минут, а пер­вый и тре­тий — за 24 ми­ну­ты. За сколь­ко минут три эти на­со­са за­пол­нят бас­сейн, ра­бо­тая вме­сте?

Ре­ше­ние.

За одну ми­ну­ту пер­вый и вто­рой на­со­сы за­пол­нят 1/10 бас­сей­на, вто­рой и тре­тий — 1/15 бас­сей­на, а пер­вый и тре­тий — 1/24 бас­сей­на. Ра­бо­тая вме­сте, за одну ми­ну­ту два пер­вых, два вто­рых и два тре­тьих на­со­са за­пол­нят

бас­сей­на.

Тем самым, они могли бы за­пол­нить 5 бас­сей­нов за 24 ми­ну­ты. По­сколь­ку каж­дый из на­со­сов был учтен два раза, в ре­аль­но­сти пер­вый, вто­рой и тре­тий на­со­сы, ра­бо­тая вме­сте, могут за­пол­нить 5 бас­сей­нов за 48 минут. Зна­чит один бас­сейн они за­пол­нят за минут

Ответ: 9,6.

23. B 14 № 505384. Пер­вый и вто­рой на­со­сы на­пол­ня­ют бас­сейн за 9 минут, вто­рой и тре­тий — за 12 минут, а пер­вый и тре­тий — за 18 минут. За сколь­ко минут эти три на­со­са за­пол­нят бас­сейн, ра­бо­тая вме­сте?

Ре­ше­ние.

Наи­мень­шее общее крат­ное чисел 9, 12 и 18 равно 36. За 36 минут пер­вый и вто­рой, вто­рой и тре­тий, пер­вый и тре­тий на­со­сы (каж­дый учтен два­жды) за­пол­нят 4 + 3 + 2 = 9 бас­сей­нов. Сле­до­ва­тель­но, ра­бо­тая од­но­вре­мен­но, пер­вый, вто­рой и тре­тий на­со­сы за­пол­ня­ют 4,5 бас­сей­на за 36 минут, а зна­чит, 1 бас­сейн за 8 минут.

Ответ: 8.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

За одну ми­ну­ту пер­вый и вто­рой на­со­сы за­пол­нят 1/9 бас­сей­на, вто­рой и тре­тий — 1/12 бас­сей­на, а пер­вый и тре­тий — 1/18 бас­сей­на. Ра­бо­тая вме­сте, за одну ми­ну­ту два пер­вых, два вто­рых и два тре­тьих на­со­са за­пол­нят

бас­сей­на.

Тем самым, они могли бы за­пол­нить бас­сейн за 4 ми­ну­ты. По­сколь­ку каж­дый из на­со­сов был учтен два раза, в ре­аль­но­сти пер­вый, вто­рой и тре­тий на­со­сы, ра­бо­тая вме­сте, могут за­пол­нить бас­сейн за 8 минут.

24. B 14 № 505405. Пер­вый и вто­рой на­со­сы на­пол­ня­ют бас­сейн за 10 минут, вто­рой и тре­тий — за 15 минут, а пер­вый и тре­тий — за 18 минут. За сколь­ко минут эти три на­со­са за­пол­нят бас­сейн, ра­бо­тая вме­сте?

Ре­ше­ние.

Наи­мень­шее общее крат­ное чисел 10, 15 и 18 равно 90. За 90 минут пер­вый и вто­рой, вто­рой и тре­тий, пер­вый и тре­тий на­со­сы (каж­дый учтен два­жды) за­пол­нят 9 + 6 + 5 = 20 бас­сей­нов. Сле­до­ва­тель­но, ра­бо­тая од­но­вре­мен­но, пер­вый, вто­рой и тре­тий на­со­сы за­пол­ня­ют 10 бас­сей­нов за 90 минут, а зна­чит, 1 бас­сейн за 9 минут.

Ответ: 9.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

За одну ми­ну­ту пер­вый и вто­рой на­со­сы за­пол­нят 1/10 бас­сей­на, вто­рой и тре­тий — 1/15 бас­сей­на, а пер­вый и тре­тий — 1/18 бас­сей­на. Ра­бо­тая вме­сте, за одну ми­ну­ту два пер­вых, два вто­рых и два тре­тьих на­со­са за­пол­нят

бас­сей­на.

Тем самым, они могли бы за­пол­нить бас­сейн за 9/2 ми­ну­ты или 4,5 ми­ну­ты. По­сколь­ку каж­дый из на­со­сов был учтен два раза, в ре­аль­но­сти пер­вый, вто­рой и тре­тий на­со­сы, ра­бо­тая вме­сте, могут за­пол­нить бас­сейн за 9 минут.