Существование бесконечного числа решений у системы линейных однородных уравнений, в которой число неизвестных больше числа уравнений

Однородная система, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет ненулевое решение.

Запишем общий вид однородной системы m уравнений с n неизвестными:

а₁₁х₁+ а₁₂х₂+…+ а_1nх_n=0

а₂₁х₁+ а₂₂х₂+…+ а_2nх_n=0

…

а_m1х₁+ а_m2х₂+…+ а_mnх_n=0, где n>m

Применим к системе метод Гаусса.

В процессе преобразований не могут получиться противоречивые уравнения

, где b ≠0,

т.к. все свободные члены уравнений – нули.

Значит, после некоторого числа шагов мы получаем систему, где каждому уравнению будет соответствовать свое базисное неизвестное. Но поскольку число уравнений меньше числа неизвестных, то и число базисных неизвестных должно быть меньше числа неизвестных. Следовательно, обязательно имеются свободные неизвестные, а система имеет бесчисленное множество решений.