Дайте определение базиса линейного пространства. Приведите пример. Докажите однозначность разложения вектора по базису

Система векторов из Rⁿ называется базисом этого пространства, если:

1)Система ЛНЗ;

2) Любой вектор из Rⁿ можно представить как линейную комбинацию векторов этой системы.

Теорема о базисе. Любая ЛНЗ система векторов из Rⁿ явл. базисом Rⁿ, когда число векторов этой системы равно n. Док-во. Пусть: { в₁, в₂, …, в_m } ЛНЗ система в Rⁿ, докажем, что m=n 1) m>n. Получим, что система ЛЗ(по теореме об ортогональном векторе), что противоречит условию; 2) m<n Пусть{ в₁, в₂, …, в_m }- базис Rⁿ, то для любого Х ЄRⁿ х=х₁в₁+х₂в₂+…+х_mв_m; m<n,то по теореме о существовании ортогонального вектора есть ненулевой вектор, кот. Ортогонален любому вектору этой системы (у_╨в_i, i=1,…,n), то ув_i=0; у ЄRⁿ, тогда у=у₁в₁+у₂в₂+…+у_mв_m, умножим это рав-во на само себя уу=(у₁в₁+у₂в₂+…+у_mв_m)у=у₁(в₁у₁)+у₂(у₂в₂)+…+у_m(у_mв_m)=0; уу=0, то у=0, а по усл теоремы у≠0, противоречие, значит m<n неверно, тогда m=n.

26. Дайте определение линейного подпространства в Rⁿ. Какие из множеств, образованных всевозможными векторами (х₁, х₂) из R² такими, что а) х₁ – х₂ = 0, б) х₁ - 2х₂ = 1, в) х₁ * х₂ > 0 являются подпространствами, а какие нет? Ответ обоснуйте.

Опр. М назыв. Подпр-вом пр-ва L, если М замкнуто относит. слож.и умнож. на число, т.е. для любых эл-тов x и y из М и любого числа а х+у принадл М и ах принадл М.

Теор. Подпр-во является линейным пр-вом

Док-во: Т.к. пр-во замкнуто и принадл. L, то в нем выполн. все аксиомы линейного пр-ва. Аксиомы 3 и 4 выполнены также в силу 4-х теорем.

Пусть в пр-ве L выделены 2 подпр-ва M и N, тогда М Ụ N необязат. будут явл. подпр-вами.

Пример:2 прямые на пл-ти.

Теор. Пересечение М и N подпространство.

Опр. М+N={х₁+х₂│х₁ принадл. M, х₂ принадл. N

Теор. M+N – подпр-во пр-ва L.

Док-во: Пусть х принадл. M+N и у принадл. M+N, т.е. х=х₁+х₂, у=у₁+у₂, х₁ и у₁ принадл. М. х₂ и у₂ принадл. N. х+у=(х₁+у₁)+(х₂+у₂) где х+у принадл. M+N т.к. х₁+у₁ принадл. M, а х₂+у₂ принадл. N. Аналогично доказывается, что ах принадл. M+N.

Пример: В R³ суммой двух одномерных пр-ств (прямых) явл. двумерное пр-во (плоскость, содерж. данные прямые).

27. Дайте опред. Общего решения неоднородной системы лин. Уравнений. При каких условиях множество решений системы лин. ур-й Ах=b образует лин. простр-во? Ответ обоснуйте.

Линейное уравнение называется однородным, если свободный член уравнения = 0. Система, состоящая из однородных уравнений, сама называется однородной.

Общее решение однородной системы линейных уравнений представляет собой линейно зависимые вектора.

Общее решение СЛАУ-все пространство решений однородной СЛАУ. Выразив базисные неизвестные через свободные, получается общее решение системы.