Кривизна характеризует отклонение кривой от криволинейной формы, а кручение (2-я кривизна) – отклонение кривой от плоской формы
b |
b |
ψ |
P0 |
M |
Пусть т. и М – т. близкая к т. . Обозначим - угол между соприкасающимися плоскостями в этих точках (или угол между бинормалями).
Тогда под абсолютным кручением кривой в т. будем понимать:
Кручение
Теорема. Регулярная (трижды непрерывно дифференцируемая) кривая в каждой своей точке, где кривизна отлична от нуля, имеет определение абсолютное кручение Если естественная параметризация кривой, то
□ Если кривизна в т. отлична от нуля, то она отлична от нуля в окрестности т. вектора - не коллинеарны в любой т. М близкой к существует единственная соприкасающаяся плоскость
b(s+ |
b(s) |
P0 |
M |
b(s+ |
b(s) |
ψ |
b(s+ |
b(s) |
ψ |
n |
Получим, что .
Но 1) (свойство векторной функции).
2)
Из 1) и 2) следует, что
Известно, что
, тогда .
Получаем:
О знаке кручения (определение кручения)
Из параллельности векторов и следует, что при движении по кривой в сторону возрастающих s соприкасающаяся плоскость кривой поворачивается около касательной (кручение, длина вектора выражает скорость вращения вектора бинормали, а следовательно соприкасающейся плоскости).
Кручение кривой определяется равенством Знак «+» берется, если вращение соприкасающейся плоскости происходит в направлении от b к и «», если вращение происходит в направлении от . Таким образом, .
Замечание. Точки кривой, в которых кручение равно нулю, называются точками уплощения.
Вычисление кручения
1) Кривая r = r(t) задана в естественной параметризации.
,
1) Так как
2)
Но вектор кривизны.
О знаке. Т.к. при движении вдоль кривой в сторону возрастания параметра s соприкасающаяся плоскость поворачивается возле касательной. Если движение происходит от от b к , то «+» и если от , то «».
2) Кривая r = r(t) задана векторно-параметрически:
3) Кривая задана параметрически:
4) Кривая задана явно: