2015-04-12
2420
Кривизна характеризует отклонение кривой от криволинейной формы, а кручение (2-я кривизна) – отклонение кривой от плоской формы
| b |
| b |
| ψ |
| P0 |
| M |
Пусть т. 
и М – т. близкая к т. 
. Обозначим 
- угол между соприкасающимися плоскостями в этих точках (или угол между бинормалями).
Тогда под абсолютным кручением кривой 
в т. 
будем понимать: 
Кручение
Теорема. Регулярная (трижды непрерывно дифференцируемая) кривая в каждой своей точке, где кривизна отлична от нуля, имеет определение абсолютное кручение 
Если 
естественная параметризация кривой, то
□ Если кривизна в т. отлична от нуля, то она отлична от нуля в окрестности т. 
вектора 
- не коллинеарны 
в любой т. М близкой к существует единственная соприкасающаяся плоскость
b(s+ 
|
| b(s) |
|
| P0 |
| M |
| b(s+
|
| b(s) |
 ψ
|
| b(s+
|
| b(s) |
| ψ
|
| n |
|
|
Получим, что 
.
Но 1) 
(свойство векторной функции).
2) 
Из 1) и 2) следует, что 
Известно, что 
, тогда 
.
Получаем: 
О знаке кручения (определение кручения)
Из параллельности векторов 
и 
следует, что при движении по кривой в сторону возрастающих s соприкасающаяся плоскость кривой поворачивается около касательной (кручение, длина вектора выражает скорость вращения вектора бинормали, а следовательно соприкасающейся плоскости).
Кручение кривой определяется равенством 
Знак «+» берется, если вращение соприкасающейся плоскости происходит в направлении от b к и «
», если вращение происходит в направлении от 
. Таким образом, 
.
Замечание. Точки кривой, в которых кручение равно нулю, называются точками уплощения.
Вычисление кручения
1) Кривая r = r(t) задана в естественной параметризации.
, 
1) Так как 
2) 
Но 
вектор кривизны.
О знаке. Т.к. 
при движении вдоль кривой в сторону возрастания параметра s соприкасающаяся плоскость поворачивается возле касательной. Если движение происходит от от b к , то «+» и если от 
, то «».
2) Кривая r = r(t) задана векторно-параметрически:
3) Кривая задана параметрически: 
4) Кривая задана явно: 
