Проверка общего качества уравнения регрессии. Для анализа общего качества уравнения линейной парной регрессии обычно используется коэффициент детерминации

Для анализа общего качества уравнения линейной парной регрессии обычно используется коэффициент детерминации . В случае нелинейной регрессии используется индекс детерминации . Коэффициент и индекс детерминации определяют долю разброса результативного признака, обусловленную изменением факторного признака.

Так как , то величина в процентах показывает, какая часть изменения зависимой переменной y определяется объясняющей переменной x, а какая – другими случайными факторами.

При достаточно близком к единице коэффициенте детерминации не всегда наблюдается тесная взаимосвязь между факторами. Поэтому необходимы дополнительные исследования.

В большинстве случаев уравнение регрессии строится на основе выборочных данных. Поэтому возникает вопрос о согласованности построенного уравнения генеральной совокупности. Проверить значимость уравнения регрессии – значит установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным. Выдвигается гипотеза : = 0 о незначимости коэффициента детерминации при альтернативной гипотезе : 0.

При проверке нулевой гипотезы используется -статистика

= , (3)

имеющая распределение Фишера , где – число наблюдений.

По выборочным данным по формуле (3.3) вычисляется наблюдаемое значение статистики . По таблицам критических точек -распределения находится критическое значение статистики = при заданном уровне значимости . Если попадает в критическую область, т.е. , то нулевая гипотеза отвергается, что говорит о соответствии теоретического уравнения регрессии выборочным данным. Если < , то признается ненадежность уравнения регрессии.

Для оценки адекватности уравнения регрессии также используется показатель средней ошибки аппроксимации:

– среднее отклонение расчетных значений от фактических, допустимый предел которого не более 8 – 12 %.

Средний коэффициент эластичности на основании вида уравнения парной регрессии позволяет определить, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результирующий фактор y при изменении фактора x на 1 % от своего номинального значения. В случае линейной регрессии = .

Возможна ситуация, когда часть вычисленных коэффициентов парной регрессии , не обладает необходимой степенью значимости. В этом случае такие коэффициенты должны быть исключены из уравнения регрессии. Поэтому проверка адекватности построенного уравнения регрессии наряду с проверкой значимости коэффициента детерминации включает в себя также и проверку значимости каждого коэффициента регрессии.

Для этого выдвигаются нулевые гипотезы о незначимом отличии от нуля коэффициентов регрессии а, b, т.е. , при альтернативных гипотезах , . Проверка данных гипотез осуществляется с помощью -статистики, имеющей распределение Стьюдента с числом степеней свободы . Для этого рассчитываются стандартные ошибки коэффициентов регрессии

, .

По выборочным данным вычисляется наблюдаемое значение -статистики как отношение значения коэффициента к величине его стандартной ошибки: , , которое затем сравнивается с табличным = . Если попадает в критическую область, т.е. , то нулевые гипотезы : , отвергаются.

Если незначимым окажется коэффициент , то проводится пересчет уравнения регрессии в предположении, что а = 0. Если незначимым окажется коэффициент b, то нужно изменить спецификацию модели.

Доверительные интервалы для каждого коэффициента регрессии имеют вид:

, .

Они определяют пределы, в которых находятся точные значения коэффициентов регрессии с заданным уровнем значимости.

Точечный прогноз результирующего признака y определяется путем подстановки в уравнение регрессии значение x_p независимого фактора x: .

Интервальный прогноз заключается в построении доверительного интервала, с заданной вероятностью покрывающего истинное значение прогноза. Предварительно рассчитывается стандартная ошибка прогноза: , где .