2015-04-01
967
Задача. Получить уравнение фазовых траекторий и построить фазовый портрет собственных колебаний нелинейной консервативной системы: колебательного контура с сегнетоэлектрическим конденсатором (варикондом), емкость которого может быть аппроксимирована зависимостью 
, где q – заряд конденсатора, С 0, γ – константы для конкретного сегнетоэлектрика, сделать вывод о характере колебаний.
Решение: Уравнение баланса напряжений данного контура:
,
где J – ток в контуре.
Колебательное уравнение для заряда:
.
Уравнение фазовых траекторий
.
После интегрирования этого уравнения получаем:
.
Преобразуем уравнение кривых
. 
Фазовый портрет изобразить на фазовой плоскости
; 
.
Фазовые траектории – замкнутые линии. Это говорит о том, что движение – периодическое.
Фазовые траектории при малых γ имеют форму эллипса; следовательно, q(t) изменяется по гармоническому закону.
При других γ фазовая траектория замкнута, но имеет форму овала. Колебания q(t) – не синусоидальной формы.
|
|
|
Особая точка характеризует устойчивое состояние равновесия, а значения полуосей эллипса и овала – значению амплитуд 
и 
.
Вопросы для тестирования
1. Амплитуда собственных (свободных) колебаний определяется:
а) параметрами системы,
б) начальным запасом энергии системы,
в) параметрами внешней силы.
2. Неизохронные колебания это:
а) колебания, амплитуда которых изменяется во времени,
б) колебания, частота которых изменяется в зависимости от амплитуды (начальных условий),
в) колебания, период которых постоянен.
3. На возникновение собственных апериодических колебаний в ЛДС влияет:
а) задание начальных условий,
б) определенное соотношение параметров системы,
в) изменение амплитуды внешней силы.
4. Разный характер (вид) апериодического (асимптотического) свободного колебания зависит от:
а) соотношения параметров,
б) задания начальных условий,
в) характера внешнего воздействия.
5. Фазовый портрет свободных колебаний в ЛКС с «отталкивающей» силой это:
а) эллипс,
б) развертывающаяся спираль,
в) равносторонние гиперболы.
6. Фазовый портрет собственных колебаний консервативного математического маятника с произвольным углом отклонения содержит особые точки типа:
а) устойчивый узел,
б) неустойчивый фокус,
в) седло,
г) центр.
7. В ЛДС под действием гармонической силы резонанс наступает:
а) при совпадении собственной частоты ω 0и частоты изменения параметра р (ω 0 = р),
б) при соотношении между ω 0 и р: 
,
в) при соотношении ω 0 ≈ р.
8. Амплитуда установившихся вынужденных колебаний в ЛДС определяется:
а) начальными условиями,
|
|
|
б) характеристиками внешней силы,
в) параметрами системы.
9. Нелинейная диссипация собственных колебаний приводит к:
а) зависимости частоты колебаний от амплитуды,
б) постоянству логарифмического декремента затухания,
в) зависимости логарифмического декремента затухания от начальных условий.
10. При резонансе в ЛКС амплитуда колебаний:
а) нарастает неограниченно по линейному закону,
б) имеет максимум,
в) не изменяется.
11. В автоколебательной системе, описываемой уравнением х’’ + ω 02 x = F 0cos pt
а) в общем случае результирующее колебание является:
б) гармоническим
в) периодическим, но несинусоидальным
г) апериодическим
12. Для возникновения параметрического резонанса необходимо, чтобы:
а) частота изменения параметра р совпадала с частотой возникающих колебаний ω,
б) выполнялось соотношение p = 2 ω/n (n =1,2...),
в) выполнялось соотношение p ≈ nω.
13. Автоколебания могут быть:
а) гармоническими,
б) апериодическими,
в) затухающими,
г) несинусоидальными.
14. Амплитуда автоколебаний определяется:
а) начальными условиями,
б) параметрами системы,
в) видом возвращающей силы.
15. Аттрактор это:
а) устойчивый предельный цикл,
б) неустойчивый предельный цикл,
в) полуустойчивый предельный цикл.
16. Функция диссипации автоколебательной системы:
а) положительная,
б) знакопеременная,
в) отрицательная.
17. Бифуркация – это качественное изменение поведения динамической системы:
а) при определенных значениях параметров,
б) при определенных начальных условиях,
в) случайным образом.
