ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Контрольные задания и методические указания
для студентов заочного отделения
инженерно-технических специальностей
(часть 4)
ВЕЛИКИЙ НОВГОРОД
Р е ц е н з е н т
д. физ.-мат.наук, доцент кафедры прикладной математики
В.А. Едемский
Высшая математика: Контрольные задания и метод. указания для студентов заочного отделения инженерно-технических специальностей (часть4) / Сост. С.О. Карданов, Е.Ю. Карданова; НовГУ им. Ярослава Мудрого. – Великий Новгород, 2010. – 46с.
Пособие является руководством по выполнению контрольных работ по курсу высшей математики для студентов-заочников инженерно-технических специальностей вузов. Оно содержит вопросы и теоретические сведения, необходимые для выполнения контрольных работ по данной теме, примеры решения задач, контрольные задания и список литературы.
Введение
При изучении курса высшей математики студент-заочник должен выполнить ряд контрольных работ. Решения задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными. Все решения надо приводить полностью, чертежи и графики должны быть выполнены четко, с указанием масштаба и названий координатных осей. Обозначения к задачам должны соответствовать указаниям на чертежах и графиках. К выполнению контрольного задания следует приступать после изучения теоретического материала по учебникам и решения достаточного количества задач по материалу, соответствующему этому заданию. Данное пособие предназначено для студентов-заочников 2-го курса весеннего семестра.
Глава I. Уравнения математической физики. Операционное исчисление. Теория функций комплексной переменной
Теоретические вопросы
1. Классификация уравнений с частными производными второго порядка.
2. Задача Коши для уравнения колебания струны.
3. Метод Даламбера решения задачи Коши для уравнения колебания струны.
4. Определение преобразования Лапласа и его свойства.
5. Малая таблица преобразований Лапласа.
6. Преобразование Лапласа производной от функций.
7. Обратное преобразование Лапласа и его свойства.
8. Малая таблица обратных преобразований Лапласа.
9. Обратное преобразование Лапласа дробно-рациональных функций.
10. Операционный метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем.
11. Предел и непрерывность функции комплексной переменной.
12. Дифференцирование функции комплексной переменной.
13. Интегрирование функции комплексной переменной.
Литература
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. М.: Наука, 1989. Т.1,2.
2. Пчелин Б.К. Специальные разделы высшей математики. М.: Высш.шк.,1973.
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высш. шк.,1998. Ч.1,2.
Уравнения математической физики
Многие задачи механики, физики, химии приводят к исследованию дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, называемых уравнениями математической физики. Например, колебание струны описывается уравнением:
. (1)
Но для определения движения струны, кроме уравнения (1), необходимо задать начальные условия, описывающие поведение струны в начальный момент времени t=0:
, (2)
, (3)
где - заданные функции.
Задача отыскания решения u (x,t) уравнения (1) в области , удовлетворяющего начальным условиям (2)-(3), называется задачей Коши для уравнения колебания струны.
Решение задачи Коши для уравнения (1) задается формулой Даламбера:
. (4)
Задание. Найти решение u (x,t) задачи Коши:
Решение. По формуле Даламбера (4) имеем:
2. Операционное исчисление