Решение задачи нагрева металла с постоянными теплофизическими свойствами аналитическим методом в среде MathCAD

Решение задачи аналитическим методом осуществляется в математической среде MathCAD, где с помощью встроенных функций и команд имеется возможность решения дифференциальных уравнений. Зная основное ДУ теплопроводности, можно легко получить аналитическую зависимость изменения температуры и количества переданного тепла во времени для любой точки тела.

Сначала надо описать постоянные величины:

τ = 1000 – время расчета или нагрева пластины, с;

r = 0,1 – толщина пластины, м;

c – удельная массовая теплоемкость стали, ;

ρ – плотность стали, кг/м³;

λ – коэффициент теплопроводности, .

Для стали 20 средние для диапазона температур 0 1473 ⁰С теплофизические свойства представлены в таблице 3.1.

Таблица 3.1. Свойства материала

Затем записывается ДУ теплопроводности с начальными и граничными условиями, в виде указанном в постановке задачи. Записываются границы решения, и количество шагов по времени и по пространству, используя функцию pdesolve, которая как раз и является функцией решения дифференциальных уравнений в среде MathCAD.

Встроенная функция pdesolve применяется в рамках вычислительного блока, начинающегося ключевым словом Given, и пригодна для решения различных гиперболических и параболических уравнений. Она предназначена для решения одномерного уравнения (или системы уравнений) в частных производных (того, которое определит пользователь в рамках вычислительного блока Given), зависящего от времени t и пространственной координаты х, имеет целый набор различных аргументов и работает следующим образом: Pdesolve(u,x,xrange,t,trange,[xpts], [tpts]) – возвращает скалярную (для единственного исходного уравнения) или векторную (для системы уравнений) функцию двух аргументов (x, t), являющуюся решением дифференциального уравнения (или системы уравнений) в частных производных. Результирующая функция получается интерполяцией сеточной функции, вычисляемой согласно разностной схеме:

u – явно заданный вектор имен функций (без указания имен аргументов), подлежащих вычислению. Эти функции, а также граничные условия (в форме Дирихле или Неймана) должны быть определены пользователем перед применением функции pdesolve в вычислительном блоке после ключевого слова Given. Если решается не система уравнений в частных производных, а единственное уравнение, то, соответственно, вектор и должен содержать только одно имя функции и вырождается в скаляр;

х – пространственная координата (имя аргумента неизвестной функции);

xrange – пространственный интервал, т. е. вектор значений аргумента х для граничных условий. Этот вектор должен состоять из двух действительных чисел (представляющих левую и правую границу расчетного интервала);

t – время (имя аргумента неизвестной функции);

t range – расчетная временная область: вектор значений аргумента t, который должен состоять из двух действительных чисел (представляющих левую и правую границу расчетного интервала по времени);

xpts – количество пространственных точек дискретизации (может не указываться явно, в таком случае будет подобрано программой автоматически);

tpts – количество временных слоев, т. е. интервалов дискретизации по времени (также может не указываться пользователем явно).

Результаты решения приведены в табл. 3.2, а также получены в виде зависимостей, изображенных на рис. 3.1. Листинг программы в MathCAD приведен в приложении 2.

Таблица 3.2. Результаты решения задачи

Рис. 3.1. График зависимости температур от времени нагрева