Рассмотрим некоторый импликант функции , являющийся конъюнкцией. Для удобства будем считать, что в него входят первые переменных, т.е., импликант имеет вид .
На всех наборах (при различных ) импликант равен 1. Поэтому, функция на этих наборах также обращается в 1, и в ее СДНФ присутствуют всевозможные конъюнкции вида .
Осуществив склеивания по переменной ,
,
из них можно получить всевозможные конъюнкции вида . Затем, произведя склеивания по переменной , придем к всевозможным конъюнкциям и т.д., пока не получим .
Таким образом, всякий импликант, имеющий вид конъюнкции, можно получить из конъюнкций СДНФ последовательным применением операции склеивания. Легко видеть, что верно и обратное: всякая конъюнкция, полученная таким образом, является импликантом .
Отсюда можно сделать вывод, что все импликанты, имеющие вид конъюнкций, и только они, могут быть образованы в результате последовательного склеивания конъюнкций из СДНФ.
Пример 4.1. Пусть функция задана в СДНФ
.
Получим все простые импликанты функции . Для этого необходимо произвести все возможные склеивания сначала конституент, а затем всех производных конъюнкций более низкого ранга и выполнить все возможные поглощения. Этот процесс иллюстрирует табл. 4.8. Таблица состоит из трех колонок, которые заполняются последовательно. В колонке 1 помещены конституенты единицы. Каждая конституента помечена номером (1-7). В колонке 2 содержатся конъюнкции ранга 3 (номера 8-13), полученные в результате проведения всех возможных склеиваний конституент. Если и конституенты склеились, используется запись , где – результат склеивания. Конституенты, поглощаемые конъюнкциями колонки 2, помечаются значком . В колонке 3 находятся конъюнкции ранга 2, полученные путем проведения всех возможных склеиваний конъюнкций из колонки 2. Поглощаемые ими конъюнкции из колонки 2 отмечаются значком . Конъюнкции из колонки 3 не склеиваютя. Конституенты и конъюнкции более низкого ранга, не участвовавшие в склеивании (не отмеченные значком ), являются простыми импликантами, образующими сокращенную ДНФ функции
|
|
Таблица 4.8
1) | 8) | 15) | |||||
2) | 9) | 16) | |||||
3) | 10) | ||||||
4) | 11) | ||||||
5) | 12) | ||||||
6) | 13) | ||||||
7) | 14) |