2015-04-20
462
Требуется найти функцию y(x), удовлетворяющую дифференциальному уравнению
. (2.1)
Здесь f(x, y(x)) - заданная непрерывная функция двух аргументов.
Условия существование и единственность решения задачи (1.1) устанавливает
Теорема 2.1 (Пеано[3], [3]). Пусть функция f(x, y(x)) непрерывна в открытой области D. Тогда через каждую точку (u,v) этой области проходит хотя бы одна интегральная кривая. Каждая из этих кривых может быть продолжена в обе стороны вплоть до границы любой замкнутой области G, целиком содержащейся в D и содержащей точку (u,v) внутри себя.
Кроме того, если функция f(x, y(x)) имеет в области D непрерывные частные производные первого порядка или удовлетворяет условию Липшица,
,
то задача (2.1) имеет единственное решение.
В дальнейшем будем предполагать, что правая часть f(x, y) уравнения дифференцируема достаточное число раз.
