Теорема Кронекера-Капелли

Теорема 1.10.1. ( критерий совместности неоднородной системы ).

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только

тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной

матрицы rang (A) = rang (A b).

Примем ее без доказательства.

Правила практического разыскания всех решений совместной систе-

мы линейных уравнений вытекают из следующих теорем.

Теорема 1.10. 2. Если ранг совместной системы равен числу неизвест-

ных (rang (A) = rang (A b)= n), то система имеет единственное решение.

Теорема 1.10.3. Если ранг совместной системы меньше числа неиз-

вестных, то система имеет бесчисленное множество решений.

Теорема 1.10.4. Общее решение неоднородной системы равно

сумме некоторого частного решения неоднородной системы и общего

решения однородной.

Однородные системы уравнений

Теорема 1.11.1. Для того чтобы система однородных уравнений

имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг r ее ос-

новной матрицы был меньше числа n неизвестных, т.е. r < n.

Теорема 1.11.2. Для того, чтобы однородная система n линейных

уравнений с n неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и

достаточно, чтобы ее определитель D был равен нулю, т. е. D = 0.