2015-05-05
442
В математическом анализе правилом Лопита́ля называют метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида 
и 
. Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Точная формулировка
Правило говорит, что если функции 
и 
обладают следующим набором условий:
1. 
или 
;
2. 
;
3. 
в некоторой окрестности точки 
, тогда существует
. При этом теорема верна и для других баз (для указанной будет приведено доказательство).
Доказательство
1. Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю (т. н. неопределённость вида 
)
Поскольку мы рассматриваем функции 
и 
только в правой проколотой полуокрестности точки , мы можем непрерывным образом их доопределить в этой точке: пусть 
. Возьмём некоторый 
из рассматриваемой полуокрестности и применим к отрезку 
теорему Коши. По этой теореме получим:
Но , поэтому 
.
Дальше, записав определение предела отношения производных и обозначив последний через А, из полученного равенства выводим:
|
|
|
для конечного предела и
для бесконечного,
что является определением предела отношения функций.
2. Докажем теорему для неопределённостей вида 
. Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен А. Тогда, при стремлении к справа, это отношение можно записать как 
, где 
— O(1). Запишем это условие:
Зафиксируем 
из отрезка 
и применим теорему Коши ко всем из отрезка 
:
, что можно привести к следующему виду:
Для , достаточно близких к , выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (так как 
и 
— константы, а и стремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен 
, где 
— бесконечно малая функция при стремлении к справа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение 
, что и в определении для :
Получили, что отношение функций представимо в виде 
, и 
.По любому данному можно найти такое 
, чтобы модуль разности отношения функций и 
был меньше , значит, предел отношения функций действительно равен .
Если же предел бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то
.
В определении будем брать 
; первый множитель правой части будет больше 1/2 при , достаточно близких к , а тогда 
.
Для других баз доказательства аналогичны приведённым.
Примеры
Здесь можно применить правило Лопиталя 3 раза, а можно поступить иначе. Можно разделить и числитель, и знаменатель на x в наибольшей степени(в нашем случае 
). В этом примере получается: 
