A) Объём ступенчатой фигуры

Пусть некоторое тело расположено между плоскостями и . Станем рассекать его плоскостями, перпендикулярными оси . Предположим, что все эти сечения квадрируемы, обозначим - площадь сечения с абсциссой и будем считать функцию непрерывной на . В этих предположениях тело имеет объём, который вычисляется по формуле

. (1)

Действительно, если нарезать тело на элементарные слои толщиной и каждый слой считать приближенно цилиндром с площадью основания и высотой , то элементарный объём (объём -го слоя) равен , а сумма таких объёмов есть интегральная сумма для непрерывной (следовательно, интегрируемой) функции .

Пример 1. Вычислить объём правильной четырехугольной пирамиды, если высота пирамиды и сторона основания .

Направим ось от центра основания к вершине пирамиды, тогда . В сечении, проведенном на расстоянии от основания пирамиды перпендикулярно оси, получаем квадрат со стороной , его площадь . Величину найдём из подобия треугольников и :

Значит, и по формуле (1) получаем знакомый результат:

Пример 2. Вычислить объём тела, ограниченного трехосным эллипсоидом

На расстоянии от центра эллипсоида в сечении, перпендикулярном оси , имеем фигуру, ограниченную эллипсом , полуоси которого равны

, .

Площадь этой фигуры равна (см. замечание к примеру 7 предыдущего раздела) , . По формуле (1) находим (с учетом симметрии эллипсоида относительно координатной плоскости )

Пример 3. Вычислить объём цилиндрического отрезка – тела, отсекаемого от прямого кругового цилиндра плоскостью, проходящей через диаметр основания. В основании цилиндра – круг радиуса : , а секущая плоскость проходит через диаметр и составляет угол с плоскостью основания.

Первый способ. В сечении, проведенном на расстоянии от центра круга перпендикулярно оси , получаем прямоугольный треугольник с катетами и , где , . Площадь этого треугольника

По формуле (1) находим (с учетом симметрии тела относительно сечения )

где – высота цилиндрического отрезка.

Второй способ. В сечении, проведенном на расстоянии от центра круга перпендикулярно оси , получаем прямоугольник со сторонами и , здесь , . Иначе: если в первом случае мы нарезали тело на треугольные слои перпендикулярно оси , то теперь нарезаем его на прямоугольные слои перпендикулярно оси . Площадь прямоугольного сечения