Механические и физические задачи

Пример 1. Вычислить работу, которую надо произвести, чтобы выкачать жидкость из заполненной ёмкости, имеющей форму полусферы радиуса .

Направим ось от центра поверхности жидкости вниз, тогда . На глубине выделим слой жидкости толщиной и будем приближенно считать его цилиндром. Радиус этого цилиндра найдём из соотношения

.

Элементарный объём выделенного слоя , масса слоя , где – плотность жидкости. Работа по поднятию -го слоя на высоту (элементарная работа) равна , а сумма таких работ – это интегральная сумма для непрерывной функции .

Значит, .

Пример 2. Вертикальная пластинка в форме треугольника с высотой и основанием погружена в воду так, что её вершина лежит на поверхности. Найти силу давления воды на эту пластинку.

Направим ось от поверхности воды вниз, тогда . На глубине выделим элементарную полоску высотой и будем приближенно считать её прямоугольной. Основание полоски найдем из подобия треугольников:

.

Значит, элементарная площадь равна . По закону Паскаля выделенная полоска испытывает силу давления воды (одинаковую на данной глубине во всех направлениях) , а сумма – это интегральная сумма для непрерывной функции . Значит, погруженная в воду пластинка испытывает давление

.

Пример 3. Определить массу стержня длины м, если линейная плотность стержня меняется по закону кг/м, где – расстояние от одного из концов стержня.

Выделим на расстоянии от одного из концов стержня участок длины и будем приближенно считать, что плотность стержня вдоль этого участка не изменяется, т.е. остаётся такой же, как на его левом конце. Тогда элементарная масса (масса выделенного -го участка) равна , а сумма таких масс – это интегральная сумма для непрерывной функции . Значит, масса стержня равна кг.

Пример 4. Вычислить скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно вышло из гравитационного поля Земли (вторая космическая скорость).

Найдем сначала величину работы, необходимой для поднятия тела массы на высоту от поверхности Земли. Согласно закону всемирного тяготения величина силы , с которой притягиваются два тела (материальные точки), определяется соотношением , в нашей задаче – масса Земли, – масса тела, – гравитационная постоянная, – расстояние между телом и центром Земли.

Как известно, работа по перемещению в силовом поле, если перемещение совпадает с направлением действия силы, вычисляется по формуле (при условии, что величина силы неизменна). Обозначим – радиус Земли, тогда расстояние между телом, поднятым на высоту , и центром Земли изменяется в промежутке . Разобьем этот промежуток на части и будем полагать, что на каждом частичном промежутке сила изменяется незначительно, так что ее можно принять постоянной . При этом условии элементарная работа по поднятию тела на высоту равна = . Остается просуммировать все – получим интегральную сумму, а переход к пределу при приводит к интегралу:

.

Устремив к бесконечности, получим величину работы, необходимой для того, чтобы тело навсегда покинуло Землю: . Поскольку эта работа совершается за счет кинетической энергии тела: , то вторая космическая скорость равна .

Пример 4. С какой силой притягивает материальная бесконечная прямая с постоянной линейной плотностью материальную точку , находящуюся на расстоянии от этой прямой?

Введем полярную систему координат, поместив ее начало в материальную точку. Разобьем прямую на частичные отрезки так, что каждый из них можно считать материальной точкой и выделим один такой отрезок, концы которого во введенной системе координат соответствуют углам и соответственно. Длина такого частичного отрезка . Применяя формулу Лагранжа для функции и учитывая малость частичного отрезка, можно считать, что его длина , а масса . Согласно закону всемирного тяготения, сила взаимного притяжения материальной точки и массы выделенного отрезка равна , где . Поэтому

(здесь − гравитационная постоянная). Считаем массу сосредоточенной в начальной точке отрезка , сила также приложена в этой точке. Заметим, что для каждого выделенного частичного отрезка найдется симметричный ему относительно точки пересечения полярной оси с материальной прямой. Разложим векторы силы притяжения материальной точки и двух таких частичных отрезков на два направления (вдоль и ортогонально к материальной прямой). Их результирующая вдоль прямой равна , а перпендикулярная к ней

.

Для того чтобы найти полную силу взаимного притяжения материальной точки и бесконечной материальной прямой , необходимо просуммировать по всем таким парам симметричных частичных отрезков, а затем перейти к пределу при (). В результате получаем

.