Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x).
y
M
Обозначим m и M наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [a, b]
Разобьем отрезок [a, b] на части (не обязательно одинаковые) n точками.
x0 < x1 < x2 < … < xn
Тогда x1 – x0 = Dx1, x2 – x1 = Dx2, …,xn – xn-1 = Dxn;
На каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и наибольшее значение функции.
[x0, x1] ® m1, M1; [x1, x2] ® m2, M2; … [xn-1, xn] ® mn, Mn.
Составим суммы:
n = m1Dx1 + m2Dx2 + … +mnDxn =
n = M1Dx1 + M2Dx2 + … + MnDxn =
Сумма называется нижней интегральной суммой, а сумма – верхней интегральной суммой.
Т.к. mi £ Mi, то n £ n, а m(b – a) £ n £ n £ M(b – a)
Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку e.
x0 < e1 < x1, x1 < e < x2, …, xn-1 < e < xn.
Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b].
Sn = f(e1)Dx1 + f(e2)Dx2 + … + f(en)Dxn =
Тогда можно записать: miDxi £ f(ei)Dxi £ MiDxi
Следовательно,