Теорема:
Если функция f(x) ограничена на [ a, b ] и имеет на нем конечное число точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке.
Доказательство:
Можем считать, не нарушая общности, что на [ a, b ] существует только одна точка разрыва х /. Возьмем произвольное число >0 и окружим точку х / - окрестностью. На отрезке [ a, х /- ] функция непрерывна, следовательно для данного можно указать такое , что если [ a, х/- ] разбить на части с длинами, меньшими δ1, то колебание функции на каждой из этих частей будет меньше . Аналогично для отрезка [ х /+ , b ] можно указать , такое что, если этот отрезок разбить на части с длинами меньшими , то колебание функции на каждой из частей будет меньше . Из δ1 и δ2 выберем наименьшее и обозначим его δ0. Тогда, если отрезок [ a, х /- ] и [ х /+ , b ] разбить на части с длинами, меньшими δ, то колебание функции на каждой из частей будет меньше . Кроме того, мы можем взять . Разобьем отрезок [ a, b ] на части с длинами, меньшими δ.
Тогда получим отрезки двух типов:
1 тип – отрезки, целиком лежащие вне окрестности;
2 тип – отрезки либо целиком лежащие в окрестности, либо частично попадающие в нее.
Так как функция ограничена, то колебания функции на каждом промежутке не превосходят колебаний функции на всем [ a, b ]. Обозначим его Ω. Разобьем сумму на две суммы , соответствующие отрезкам 1 и 2 типов.
Имеем: .
Заметим, что длины всех отрезков, целиком лежащих в окрестности точки х /, меньше 2 . Длины отрезков частично попадающих в окрестность, а их не более двух, меньше 2δ < 2 .
Для второй суммы имеем: .
Тогда
Показано, что .
Последнее равенство говорит о том, что функция интегрируема.