Пусть y=f(x) определена и непрерывна на промежутке [a;+∞], интегрируема на любом [a;b] (b>a). Сущ-т ∫ab f(x)dx для любого b>a. Обозначим ∫ab f(x)dx = Ф(b).
Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом от ф-и y=f(x) мы назовем предел вида ∫a∞ f(x)dx=lim Ф(b) при b→+∞. Этот инт-л наз. Сходящимся, если предел ф-и lim Ф(b) при b→+∞ сущ-т и конечен. В противном случае он наз расходящимся.
Аналогично определяем несобственный инт-л с бесконечным нижним пределом. Пусть y=f(x) определена и непрерывна на промежутке (-∞;в], интегрируема на любом [a;b] (a<b). Сущ-т ∫ab f(x)dx для любого a<b, Обозначим ∫ab f(x)dx = Ф(a), ∫-∞b f(x)dx = lim Ф(a) при а→–∞. Этот инт-л наз сходящимся, если предел сущ-т и конечен, в противном случае – расходящимся.
Несобственный инт-л с бесконечными нижним и верхним пределами. ∫-∞∞ f(x)dx
y=f(x) опред-на и непрерывна на (–∞;∞) и интегрируема для любого [а;b]. Возьмем произвольную точку с на (–∞;∞). Имеем: ∫-∞∞ f(x)dx = ∫-∞с f(x)dx + + ∫с∞ f(x)dx (1)
Если сущ-т несобственные интеграл с бесконеч. Верхним пределом и несоб. Инт-л с бесконечным нижним пределом, и они оба сходятся, то сходится и несобственный интеграл с бесконечным верхним и нижним пределом. В этом случае сумма (1) не зависит от выбора точки с.
Геометрич. смысл несобственного интеграла.
Пусть y=f(x) неотрицат. Непрерывная на [a;b). Для каждого b>a определенный инт-л ∫ab f(x)dx = S aABb. Мысленно перемещая Bb вправо, получим ∫a∞ f(x)dx=SaA∞.
A
B
a b