Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения частного приращения функции к приращения функции к приращению соответствующией независимой переменной, когда это приращение стремится к нулю.
Величина Dz=f(x0+Dx,y0+Dy)-f(x0,y0) (одновременное изменение величин х и у) называется полным приращением функции z в точке (x0,y0).Так же, как и в случае одной переменной возникает задача о приближённой замене приращения Dz(которая, как правило, является нелинейной функцией от Dх и Dу) на линейную функцию от Dх и Dу. Роль линейного приближения выполняет полный дифференциал функции, который определяется как сумма произведений частных производных функций на приращения независимых переменных. Так, в случае функции от двух переменных полный дифференциал определяется равенством dz=z¢xDx+z¢yDy. Следует помнить, что в различных точках (х0, у0) дифференциал будет различным.
Функция называется дифференцируемой в точке (х0, у0), если её полное приращение можно представить в виде Dz=f(x,y)- f(х0, у0)=fx¢(х0, у0)Dx+fy¢(х0, у0)Dy+ep или, короче, Dz=dz+ep, где e=e(Dх, Dу) – функция бесконечно малая при Dх® 0,Dу®0;
Геометрический смысл.
.
р=Ö(Dх)2+(Dу)2 - расстояние от точки (х,у) до точки (х0,у0).
Дифференцируемость функции z=f(z,y) в точке (х0,у0) предполагает наличие производных z¢x и z¢y в этой точке. Поэтому, если хотя бы одна из указанных производных не существует, то функция не является дифференцируемой в точке (х0,у0).
Запишем линейный аналог уравнения, отбросив слагаемое eр:
z-f(х0,у0)=f¢x(х0,у0)(x-x0)+f¢y(х0,у0)(y-y0). Это уравнение в коотдинатах x,y,z задаёт плоскость, которая называется касательной плоскостью к графику функции f(x,y) в точке (М(х0,у0), f(х0,у0)).
(можно доказать, что для любой последовательности точек {N1,N2,…}, принадлежащих графику функции z=f(x,y) (и отличных от М), угол между прямой MN1 и касательной плоскостью стремится к нулю.
(Теорема Если функция z=f(x) дифференцируема в точке (х0,у0), то она непрерывна в этой точке.)