Несобственные интегралы от неограниченных ф-й

Если сущ-т интеграл ∫_a^b f(x)dx, то y=f(x) ограничена (но обратно это не обязательно).

1). Опр. Точка х=в наз. Особой точкой ф-и y=f(x), если в любой окрестности этой точки ф-я не ограничена, но ограничена на любом отрезке [a;в-ε], ε>0.

Опр. Пусть ф-я y=f(x) не ограничена на [а;в], но интегрируема на любом меньшем отрезке [a;в-ε], ε>0, тогда если сущ-т конечный предел lim ∫_a^{b - ε} f(x)dx при ε→0+0, то его принимают за несобственный интеграл ∫_a^b f(x)dx от неограниченной ф-и f(x). Если предел сущ-т и конечен, то инт-л сходится, в противном случае он расходится.

2).Аналогично,

Если точка а – особая: ∫ _a^b f(x)dx = lim ∫_a+ε ^b f(x)dx, при ε→0+0

3). Пусть с –единственная внутренняя особая точка на [а;в]. Если сходятся ∫_a^с f(x)dx и ∫_с^b f(x)dx, то получим несобственный интеграл ∫_a^b f(x)dx= ∫_a^с f(x)dx + ∫_с^b f(x)dx (2)

Если особых точек на отрезке [а;в] несколько, то отрезок разбивают, чтобы в каждом получившемся отрезке было не более одной особой точки и используют (2).

Пусть F(x) – первообразная для y=f(x), F(a+0)=lim F(a+ε),ε→0+0, F(b-0)=lim F(b-ε),ε→0+0 (если эти пределы сущ-т). Тогда:

∫_a^b f(x)dx= F(b-0)- F(a+0)

Если y=f(x) непрерывна, то ∫_a^b f(x)dx= F(b)- F(a)