Еще определения

1°. Если группа конечная – то количество её элементов называют порядком группы.

2°. Группа G из элементов а ⁰ = е, а, а ², а ³, …, а^k = е называется циклической группой, порождаемой элементом а. Порядок группы – ½ G ½= k.

3°. Группа поворотов правильного многоугольника относительно его центра является циклической группой n ^го порядка. Порождается элементом P _{2π/ n} (поворот на угол 2π/ n против часовой стрелки). Эта группа обозначается C_n.

4°. Группа целых чисел по сложению также циклическая, ибо порождается одним элементом (0, 1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, …, –(1), –(1 + 1), …), Группа обозначается С _¥.

5°. Если Н ₁ и Н ₂ помножества группы G, то Н { h ½ h = h ₁+ h ₂, h ₁ G ₁ , h ₂ G ₂} называется суммой двух подмножеств группы G и обозначается G ₁ + G ₂. Если, при этом, представление h = h ₁+ h ₂ единственно, то сумма подмножеств называется прямой суммой и обозначается Н ₁ Å Н ₂. Отметим что, сумма двух подгрупп группы подгруппой, вообще говоря, не является. (Попробуйте привести пример)

6°. Т°. G = G ₁Å G ₂Å…Å G _k Û (G ₁, g ₂,… G _i-1)Ç G _i={q}, " i £ k.

Для того чтобы группу G можно было представить в виде прямой суммы подгрупп G ₁, G ₂,…, G _k необходимо и достаточно, чтобы подгруппы не имели других общих элементов, кроме нейтрального.

Т°. Пусть½ G ½= n и n = k×l. НОД(k, l) = 1. Тогда $ G_k, G_l Ì G, ½ G_k ½= k, ½ G_l ½= l: G = G_k Å G_l (для абелевых циклических групп).

7°. Если для циклической группы G порядок группы ½ G ½= pⁿ (n >1), где p – простое число, то группа называется примарной.

Т°. Примарная группа не может быть разложена в прямую сумму нетривиальных подгрупп.

8°. Т° (Лагранжа).Если G ₁ - подгруппа конечной группы G то порядок подгруппы G ₁ является делителем порядка группы G.