1°. Если aa -1 = e Þ a -1 a = e, т.е. (a -1)-1 = a.
◀ Пусть x элемент обратный к a -1, т.е. a -1 x = е. Тогда а = ае = а (a -1 х) = (аa -1) х = ех и a -1 а = a -1(ех) = (a -1 е) х = a -1 х = е ▶
2°. " а, еа = а, т.е. правый нейтральный элемент является и левым нейтральным.
◀ ▶
3°. Если ах = е и уа = е, то х = у.
◀ Пусть ау = е, т.е. y обратен к а Þ уа = е (1°), т.е. у = уе = у (ах) = (уа) х = ех = х ▶
Из свойств 1°, 2°, 3° следует, что:
1s) Элемент a -1 является как левым, так и правым обратным к а.
2s) В любой группе уравнения ах = b и ya = b однозначно разрешимы, причем x = a -1 b,
y = ba -1.
3s) В группе имеется единственный нейтральный элемент.
4°. (ab)-1 = b -1 a -1.
◀ (ab)(b -1 a -1) = a (bb -1) a -1 = aa -1 = e ▶