Две группы G 1 и G 2 называются изоморфными, если существует взаимно однозначное соответствие f между элементами G 1 и G 2: такое, что если .
Для изоморфных групп: e 1 «e 2, a, a -1 «f (a), f (a -1). Изоморфные группы с точки зрения групповых свойств неразличимы.
Примеры изоморфных групп:
а) группа самосовмещений равностороннего треугольника и группа перестановок из трех элементов.
б) Группа вычетов по модулю 2: Z 2 и группа, состоящая из двух преобразований евклидового пространства: тождественного преобразования и отражения относительно θ.
Изоморфное отображение группы G на саму себя называется автоморфизмом. Если отдельные автоморфизмы группы рассматривать как некоторые элементы, а последовательное проведение автоморфизмов, как произведение соответствующих элементов, то автоморфизмы сами по себе образуют группу, единичным элементом которой является тождественный автоморфизм. Эта группа называется группой автоморфизмов данной группы G.