Но справедливы и для правых)

1°. a Î H Þ aH º H. Доказать самостоятельно.

2°. a ^-1 b Î H Þ aH = bH. ◀ a ^-1 bH º H (из 1°) и тогда bH = (aa ^-1) bH = a (a ^-1 bH) = aH ▶

3°. Два смежных класса одной подгруппы H либо совпадают, либо не имеют общих элементов.

◀ Пусть аН и bH имеют общий элемент, т.е. для h ₁, h ₂Î H, ah ₁ = bh ₂ Þ a ^-1 b = Î H и т.к. (из 2°) ▶

4°. a Î aH. Доказать самостоятельно.

Пусть Н такая подгруппа G для которой все левые смежные классы являются и правыми смежными классами. В этом случае, аН = На, " a Î G. Подгруппа Н для которой все левые смежные классы являются одновременно и правыми смежными классами называется нормальным делителем группы G.

Т°. Если Н – нормальный делитель группы G, то произведение смежных классов –

смежный класс.

◀ аН, bН – смежные классы, аН × bН = a (Н × b) H = a (bH) H = (ab) H × H = (ab) H ▶