Одномерная оптимальная фильтрация

Частотные фильтры при неограниченных или перекрывающихся спектрах полезных сигналов и помех не оптимальны. Вопрос о построении оптимальных фильтров – наилучшим образом обеспечивающих выделение полезного сигнала на фоне помех – вопрос о задачах (целях) фильтрации и критериях оптимальности.

Критериальный подход

Цели фильтрации зависят от соотношения интенсивностей (амплитуд) полезных сигналов и помех в зонах их интерференции (А_с / А_п ). Можно выделить 3 ситуации.

1. (А_с / А_п ) £ 1 – фильтр должен выявить (обнаружить) полезный сигнал на фоне помех (фильтр обнаружения). Естественным критерием оптимальности будет отношение «сигнал/помеха» S/N = (А_с / А_п ). Как уже указывалось выше, для удовлетворительного выделения сигналов нужно иметь S/N = 2-3, для хорошего – S/N = 8-10.
В этой ситуации приходится мириться с искажением спектра сигналов и, соответственно, формы импульса. Представителями данного класса могут служить собственно фильтр обнаружения и сованный фильтр, отличающиеся видом помех, на подавление которых они ориентированы.

2. (А_с / А_п )» 1 – фильтр должен выделить и с минимальными искажениями воспроизвести в заданной форме полезный сигнал (фильтр воспроизведения). В качестве критерия оптимальности целесообразно использовать минимум среднеквадратического отклонения выходного сигнала f_вых(t) от желаемой формы. s(t).
Типичным представителем этого класса фильтров является фильтр Винера, обеспечивающий наилучшее использование спектральных различий помехи и сигнала. Он основан на использовании уравнения Колмогорова-Винера (в западной литературе – Винера-Хопфа), связывающего функцию автокорреляции входного сигнала b_f(t), импульсную характеристику фильтра h(t) и функцию взаимной корреляции входного сигнала (f(t)) и желаемого выхода (s(t)) – r_f,s(t).

3. (А_с / А_п ) >> 1 – в этом случае может быть поставлена задача повышения временной разрешенности сейсмической записи. Во временной области это выражается сжатием длительности импульса сигнала (в пределе – до d-импульса), в частотной – расширением спектра сигнала (в пределе – до спектра d-импульса, равномерного во всей полосе частот). Критерием оптимальности может служить отличие выходного сигнала от d-импульса или неравномерность спектра выходного сигнала.

В третьей ситуации возможны два подхода, именуемые обратной фильтрацией (деконволюцией) и прогностическим фильтром (предсказывающей деконволюцией, фильтром ошибки предсказания).