Структура общего решения неоднородной линейной системы

Рассмотрим неоднородную линейную систему (2.2):

Докажем следующие свойства ее решений:

Свойство 1. Сумма любого решения системы (2.2) и любого решения соответствующей однородной системы (4.2) является решением системы (2.2).

Доказательство.

Пусть с₁, с₂,…,с_n – решение системы (2.2), а d₁, d₂,…,d_n – решение системы (4.2) с теми же коэффициентами при неизвестных. Подставим в систему (2.2) x_i=c_i+d_i:

После перегруппировки слагаемых получим:

Но Следовательно, x_i=c_i+d_i является решением системы (2.2).

Свойство 2. Разность любых двух решений неоднородной системы (2.2) является решением соответствующей однородной системы (4.2).

Доказательство.

Пусть и - решения системы (2.2). Тогда

Утверждение доказано.

Следствие. Общее решение неоднородной системы (2.2) представляет собой сумму общего решения соответствующей однородной системы (4.2) и частного решения системы (2.2).

Пример.

Общее решение системы можно записать в виде:

, где - частное решение данной системы.

2.1.1. Пространство арифметических векторов R ⁿ. Линейные операции с векторами

Определение. Арифметическим вектором называется упорядоченная совокупность n чисел. Обозначается , числа называются компонентами арифметического вектора.

Для арифметических векторов определены линейные операции — сложение арифметических векторов и умножение вектора на число: ,

для любых и и любого числа

Определение. Множество арифметических векторов, для которых определены операции сложения и умножения на число называется пространством рифметических векторов Rⁿ.

Вектор называется нулевым вектором, а вектор — противоположным вектором для вектора .

Для любых , , из Rⁿ и любых чисел ,  справедливо:

1. , сложение коммутативно;

2. ,сложение ассоциативно;

5. , умножение на число ассоциативно;

6. ;

7. , умножение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;

8. , умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел.

Примерами пространства арифметических векторов являются пространства геометрических векторов на плоскости, записанных в координатной форме.

2.1.2. Линейная зависимость и линейная независимость в R ⁿ

Говорят, что вектор пространства Rⁿ линейно выражается через векторы , если его можно представить в виде линейной комбинации этих элементов , т.е. представить в виде .

Определение. Если хотя бы один вектор системы векторов из Rⁿ линейно выражается через остальные векторы системы, то система векторов называется линейно зависимой.