Испытание гипотезы для оценки линейности связи на основе оценки коэффициента корреляции в генеральной совокупности

Показатель наличия линейной связи в генеральной совокупнос­ти – это коэффициент корреляции. Для генеральной совокупности он равен ρ. Нам это значение неизвестно. По данным выборки мы Получаем оценку для ρ – выборочный коэффициент корреляции r – и на основании r проводим испытание гипотезы о наличии линей­ной связи между переменными x, y в генеральной совокупности. Наш вывод о наличии линейной связи между переменными x, y генеральной совокупности зависит от объема выборки. Чем больше чем нашей выборки, тем надежнее полученный результат.

H₀: ρ = 0, то есть между переменными x, у отсутствует линейная связь в генеральной совокупности.

H₁: ρ ≠ 0, то есть между переменными x, у есть линейная связь в генеральной совокупности.

Задается доверительная вероятность p. Пусть n — объем парной выборки. Двусторонняя проверка, α = (1 – p)/2.

По таблице t -распределения находим t_{α ; n-2}. В Excel для двусторон­ней проверки t_{α ; n-2} = СТЬЮДРАСПОБР (1 – p; n – 2), для односто­ронней проверки t_{α ; n-2} = СТЬЮДРАСПОБР (2×(1 – р); n – 2).

Граничные точки t_{α ; n-2}.

Статистика t = √ r ²(n – 2)/(1 – r ²).

Пример 4. Вернемся к примерам 1, 2. Проверим гипотезу о наличии линейной связи между переменными x, y в генеральной со­вокупности. Доверительная вероятность p = 95%. n = 5.

H₀: ρ = 0, то есть между переменными x, у отсутствует линейная связь в генеральной совокупности.

H₁: ρ ≠ 0, то есть между переменными x, у есть линейная связь в ге­неральной совокупности.

Проведем двустороннюю проверку.

α = (1 – p)/2(1 – 0,95)/2 = 0,025.

По таблице t -распределения находим t_{α ; n-2} = t_{0,025 ; 5-2} = 3,182. Граничные точки ±3,182.

Статистика t = √ r ²(n – 2)/(1 – r ²) = √0,817× (5 – 2)/(1 – 0,817) ≈ 3,660.

Отметим значения на числовой оси.

H0 H1 2,5%	H0 95 %	H0 H1 2,5%
-3,182	3,182	3,660

Мы отклоняем гипотезу H₀ и принимаем гипотезу H₁ на уровне значимости 5%. Между переменными x, y есть линейная связь в гене­ральной совокупности.