Комплексные числа

Комплексным числом называется выражение вида , где и - действительные числа, - мнимая единица, определяемая равенством или :

; (1.1)

называется действительной или вещественной частью комплексного числа ; называется его мнимой частью. В технической литературе применяется также обозначение .

Если , то число называется чисто мнимым; если же , то , т.е. получаем действительное число. Комплексные числа и называются сопряженными.

► Приведите пример комплексного числа, чисто мнимого числа, действительного числа.

► Запишите числа, сопряженные к .

Два комплексных числа и называются равными, если , , т.е. если равны их действительные и мнимые части. Комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда и . Выражение (1.1) называется алгебраической формой комплексного числа.

Арифметические действия с комплексными числами в алгебраической форме осуществляются следующим образом.

Суммой (разностью) комплексных чисел и называется число ().

Произведением комплексных чисел и называется число .

Частным от деления комплексного числа на комплексное число называется число

.

► Даны два комплексных числа и . Укажите их действительные и мнимые части. Найдите их сумму, разность, произведение и частное и запишите сопряженные к ним комплексные числа.

Отметим, что действия с комплексными числами в алгебраической форме выполняются как с многочленами с учетом того, что .

Пример 1.1. Решить уравнение и проверить правильность полученного результата.

Решение.

Проверка.

1)

2)

Следовательно, задача решена верно.

Заметим: если дискриминант квадратного уравнения отрицательный, то оно имеет комплексные корни, причем корни являются сопряженными, как и показывает предыдущий пример.

Комплексное число можно изобразить точкой с координатами и или вектором также с координатами и .

Рис. 1.1.