Обозначим через и полярные координаты точки , считая начало координат полюсом, а положительное направление оси – полярной осью. Тогда
(рис. 1) можно записать
и
или
(1.2)
Выражение, стоящее справа в формуле (1.2), называется тригонометрической формой записи комплексного числа; называется модулем комплексного числа, а – его аргументом; они обозначаются следующим образом:
,
при этом , .
Аргумент комплексного числа считается положительным, если он отсчитывается от положительного направления оси против часовой стрелки, и отрицательным, если он отсчитывается по часовой стрелке. Аргумент комплексного числа определяется не однозначно, а с точностью до слагаемого , где - любое целое число. Обычно используется главное значение аргумента , определяемое дополнительными условиями или . В дальнейшем, для определенности, будем считать, что . Если воспользоваться формулой Эйлера
,
то из тригонометрической формы (1.2) записи комплексного числа получаем показательную форму записи комплексного числа
|
|
Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа особенно удобны при умножении, делении, возведении в степень комплексных чисел и извлечении корня из комплексного числа.
Пусть ,
.
Тогда
,
.
► Найти действительную и мнимую части комплексного числа
.
Ответ: .
Возведение в степень комплексного числа и извлечение корня из него производится по формуле Муавра:
(1.3)
Замечание. При переходе от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической удобно пользоваться следующим правилом: обозначим ; тогда , если комплексное число находится в первой четверти; для комплексного числа , находящегося во второй четверти; для комплексных чисел, находящихся в третьей и четвертой четвертях, соответственно и (рис. 2).
Рис. 1.2.
► Изобразите графически комплексные числа и вычислите их модули и аргументы.
Пример 1.2. Дано: . Найти:
.