Задача 3.1. По информационному каналу с пропускной способностью 2400 бит/с передаются сообщения трёх типов: управляющие пакеты постоянной длины 6 байт с интенсивностью 5 пакетов в 2 секунды, диалоговые сообщения экспоненциальной случайной длины со средней 60 байт и телеграммы равномерно-случайной длины в диапазоне 600 - 1800 бит. Интенсивность диалога - 2 с-1, интенсивность телеграмм - вчетверо меньше. Вычислить среднюю задержку в канале сообщений всех трёх типов.
Решение
Имеем СМО M/G/1 с тремя потоками: 1) управляющие пакеты; 2) диалоговые сообщения; 3) телеграммы.
Сначала необходимо проверить, существует ли в канале стационарный режим. Загрузка R канала равна R=r1+r2+r3, где r1-загрузка управляющими пакетами, r2-диалоговыми сообщениями и r3- телеграммами, ri=li υ i, i=1, 2, 3.
У нас: , l2=2 с-1, .
Вычислим далее υ i, i=1, 2, 3:
= 0,02 с,
= 0,2 с,
=0,5 с.
Тогда R=l1 υ1+l2 υ2+l3 υ3 = 2,5×0,02 + 2×0,2 + 0,5×0,5 = 0,7, т.е. R=0,7<1, и стационарный режим в канале существует.
Среднее время w ожидания вычисляем по формуле:
|
|
где υi(2) – второй начальный момент времени передачи сообщения i-го типа.
Эти моменты равны:
- для постоянной «случайной» величины (для пакетов)
υ1(2) = υ12 = 0,022 = 0,0004 (с2)
- для экспоненциальной случайной величины (для диалоговых сообщений)
υ2(2) = 2 υ22 = 2×(0,2с)2 = 0,08 (с2)
- для равномерной случайной величины (для телеграмм)
υ 3(2)=(T2max+Tmax×Tmin+T2min)/3,
где Tmax = 1800бит/2400бит/с= 0,75 с, Tmin= 600бит/2400бит/с = 0,25 с,
так что
υ 3(2)= ×(0,752+ 0,75×0,25+0,252)=0,27(с2),
Подставляя вычисленные данные в (3.1), получим:
так что
u1 = w + υ1 = 0.5 + 0.02 = 0.52(c),
u2 = w + υ2 = 0.5 + 0.2 = 0.7 (c),
ui = w + υ3 = 0.5 + 0.5 = 1 (с).
Задача 3.2. Решить задачу 3.1 при условии, что управляющим пакетам, диалоговым сообщениям и телеграммам назначены 1-й, 2-й и 3-й относительные приоритеты соответственно. Сравнить результаты решения задач 3.1 и 3.2.
Решение.
Назначение приоритетов не влияет на загрузку R и остаточное время Т0. Следовательно, в СМО стационарный режим сохраняется. Времена ожидания wk, k = 1, 2, 3 вычисляем по формуле
где
R1 = λ1∙υ1 = 2,5∙0,02 = 0,05
R2 = λ1∙υ1 + λ2∙υ2 = 0,5∙0,02 + 2∙0,2 = 0,45
R = λ1∙υ1 + λ2∙υ2+ λ3*υ3 = 0,5∙0,02 + 2∙0,2 + 0,5 ∙ 0,5 = 0,7
Времена ожидания w1, w2 и w3 вычисляем по формуле (3.2):
Так что
u1 = w1 + υ1 = 0,158 + 0,02 = 0,178 (c),
u2 = w2 + υ2 = 0,29 + 0,2 = 0,49 (c),
ui = w3 + υ3 = 0,9 + 0,5 = 1,41 (с).
Сравнивая эти величины с подобными в решении задачи 3.1, видим, что время для пакетов уменьшилось в три раза, время для телеграмм возросло на 41 %.
Домашнее задание:
Решить задачи 3.1, 3.2 для случая, если длина сообщений всех типов распределена по экспоненциальному закону с теми же средними значениями. Результаты решения сравнить.
|
|
Задача 3.3. Загрузка СМО тремя идентичными по параметрам потоками равна 0.9. Вычислить, во сколько раз времена ожидания для потоков 2-го и 3-го приоритетов больше времени для 1-го потока в режиме обслуживания с относительными приоритетами.
Решение.
Пусть ρ – загрузка СМО каким-либо из 3-х потоков: ρ = R/3 = 0.3. Тогда
;