Студопедия
Обратная связь


Авиадвигателестроения Административное право Административное право Беларусии Алгебра Архитектура Безопасность жизнедеятельности Введение в профессию «психолог» Введение в экономику культуры Высшая математика Геология Геоморфология Гидрология и гидрометрии Гидросистемы и гидромашины История Украины Культурология Культурология Логика Маркетинг Машиностроение Медицинская психология Менеджмент Металлы и сварка Методы и средства измерений электрических величин Мировая экономика Начертательная геометрия Основы экономической теории Охрана труда Пожарная тактика Процессы и структуры мышления Профессиональная психология Психология Психология менеджмента Современные фундаментальные и прикладные исследования в приборостроении Социальная психология Социально-философская проблематика Социология Статистика Теоретические основы информатики Теория автоматического регулирования Теория вероятности Транспортное право Туроператор Уголовное право Уголовный процесс Управление современным производством Физика Физические явления Философия Холодильные установки Экология Экономика История экономики Основы экономики Экономика предприятия Экономическая история Экономическая теория Экономический анализ Развитие экономики ЕС Чрезвычайные ситуации ВКонтакте Одноклассники Мой Мир Фейсбук LiveJournal Instagram


Дискретные подгруппы в алгебре

ДИСКРЕТНЫЕ ПОДГРУППЫ В
Определение. Аддитивная подгруппа  в  называется дискретной, если существует окрестность нуля , такая что , т.е. в некоторой окрестности нуля нет ни одного элемента подгруппы  кроме нулевого.

Теорема. Дискретная подгруппа в  свободна.
Доказательство.
                Пусть  - максимальная независимая (над ) система векторов из . Если , то , где . Разложим  на целые и дробные части: , где , следовательно, . Рассмотрим множество  - компакт.

Лемма.  - конечно.
Доказательство.
Если  бесконечно, то в  существует сходящаяся последовательность , следовательно  - последовательность Коши, т.е. . Следовательно в любой окрестности нуля  будут элементы из , что противоречит дискретности . Следовательно  конечно.

                Таким образом, получили, что  - конечно-порожденная группа (порождается элементами  и ) и у нее нет элементов конечного порядка. Следовательно она свободна.

                Теорема. Пусть  - дискретная подгруппа в  и  - базис в . Тогда  - линейно независимы над .
Доказательство.
                Пусть эти вектора линейно зависимы, т.е. без ограничения общности можем считать, что , . Рассмотрим множество , по лемме  - конечно. Для любого целого  имеем, что . Этих остатков, принадлежащих , конечное число, следовательно , такое что , здесь , следовательно . Следовательно  линейно зависимы над, что невозможно.





 

Читайте также:

Линейное пространство

Евклидово пространство

Внешнее произведение групп

Левый смежный класс | Правый смежный класс

Неабелевая группа

Вернуться в оглавление: Алгебра

Просмотров: 3937

 
 

© studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам. Ваш ip: 54.205.159.168