Студопедия
Обратная связь


Авиадвигателестроения Административное право Административное право Беларусии Алгебра Архитектура Безопасность жизнедеятельности Введение в профессию «психолог» Введение в экономику культуры Высшая математика Геология Геоморфология Гидрология и гидрометрии Гидросистемы и гидромашины История Украины Культурология Культурология Логика Маркетинг Машиностроение Медицинская психология Менеджмент Металлы и сварка Методы и средства измерений электрических величин Мировая экономика Начертательная геометрия Основы экономической теории Охрана труда Пожарная тактика Процессы и структуры мышления Профессиональная психология Психология Психология менеджмента Современные фундаментальные и прикладные исследования в приборостроении Социальная психология Социально-философская проблематика Социология Статистика Теоретические основы информатики Теория автоматического регулирования Теория вероятности Транспортное право Туроператор Уголовное право Уголовный процесс Управление современным производством Физика Физические явления Философия Холодильные установки Экология Экономика История экономики Основы экономики Экономика предприятия Экономическая история Экономическая теория Экономический анализ Развитие экономики ЕС Чрезвычайные ситуации ВКонтакте Одноклассники Мой Мир Фейсбук LiveJournal Instagram 500-летие Реформации

Загрузка...

Определение циклической подгруппы

Определение. Пусть . Циклической подгруппой , порожденной элементом , называется множество .

Это определение корректно, т.к.  - снова степень ,  - снова степень .

Определение. Группа  - циклическая, если  такой, что .

Примеры циклических групп:
1) , т.к. ;
2) , где .

Теорема. Пусть , тогда .
Доказательство.
Допустим, что найдутся такие  , что . Тогда  и . Следовательно, порядок элемента  конечен . Пусть  и , тогда . Следовательно, группа  состоит из элементов . Докажем, что они все различны. Пусть  и , тогда  и . Получили противоречие, следовательно , все элементы различны и всего из  штук, т.е. .
Если же все степени  будут различны, то .

Теорема. Любая подгруппа циклической группы сама является циклической.
Доказательство.
Пусть . Тогда  состоит из каких-то степеней элемента . Заметим, что если , то и . Если , то . Если же  содержит не только единичный элемент, то  содержит какой-то элемент , где  (в силу нашего замечания выше). Пусть  - наименьшее натуральное число такое, что . Пусть  и , где . Тогда . Если , то мы получаем противоречие с выбором числа , следовательно,  и . Следовательно .

Следствие 1. Пусть  и , тогда  такие, что .

Следствие 2. Пусть  (порядка ) и  - подгруппа в , тогда , причем .
Доказательство.
По теореме . Пусть , тогда . Следовательно . Докажем теперь включение в другую сторону. Пусть , но , следовательно . Следовательно , т.е. , причем .

Упражнение. Докажите, что , где .





 

Читайте также:

Дискретные подгруппы в алгебре

Абелевая группа в алгебре

Линейное пространство

Кольцо называется коммутативным, ассоциативным, антикоммутативным. Кольцо Ли в алгебре

Гомоморфизм | Мономорфизм | Эпиморфизм | Изоморфизм | Автоморфизм в алгебре

Вернуться в оглавление: Алгебра

Просмотров: 6327

 
 

54.167.195.84 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам.