Неабелевая группа

Определение. Неабелевая группа называется простой, если в ней всего две нормальные подгруппы - единичная и сама группа.

Приведем несколько примеров простых групп:

Теорема. Группы при простые.
(группа абелева, следовательно не простая; группа содержит нормальную подгруппу , следовательно не простая).
Доказательство.

Лемма 1. Подгруппа порождается тройными циклами.
Доказательство.
Мы знаем, что каждая подстановка есть произведение циклов длины 2 (транспозиций). Т.к. подстановки в четны, то они равны произведению четного числа транспозиций. Рассмотрим произведение двух транспозиций:
, если различны,
, если различны,
.
Т.е. сгруппировав транспозиции по две, мы получим произведение циклов длины 3.

Пусть в существует нормальная подгруппа , причем .

Лемма 2. Если содержит тройной цикл (), то .
Доказательство.
Возьмем произвольный тройной цикл , возьмем , такую что или , далее все элементы переходят в себя. Одна из таких подстановок будет четной, выберем ее. Получим , т.к. . Следовательно подгруппе принадлежат все тройные циклы, следовательно (по лемме 1), .

Лемма 3. Если содержит подстановку , у которой в разложении на независимые циклы встречается цикл длины , то .
Доказательство.
Пусть , тогда . Т.е. содержит цикл длины 3, следовательно (по лемме 2), .

Лемма 4. Если содержит подстановку , у которой в разложении на независимые циклы содержится хотя бы два цикла длины 3, то .
Доказательство.
Пусть , тогда . Т.е. содержит цикл длины 5, следовательно (по лемме 3), .

Лемма 5. Если содержит подстановку , у которой в разложении на независимые циклы содержится один цикл длины 3 и циклы длины 2, то .
Доказательство.
Пусть , тогда , следовательно (по лемме 2), .

Лемма 6. Если содержит подстановку , у которой в разложении на независимые циклы содержатся только циклы длины 2, то .
Доказательство.
Если , то, т.к. у нас не менее пяти символов, . Тогда , следовательно (по лемме 2), .
Если , то , следовательно (по лемме 4), .

Теперь, собственно, докажем теорему. Возьмем произвольную . Она удовлетворяет условию одной из наших лемм, следовательно . Теорема доказана.

Приведем еще один пример простой группы: группа - ортогональных симметричных матриц.

Определение. Коммутатором элементов из группы называется элемент .

Упражнение. .

Предложение. В имеем , если различны.
Доказательство.
.

Предложение. В группе имеем , если различны.
Доказательство.

Определение. Коммутант группы - (или ) - это множество всех произведений коммутаторов.

Предложение. .
                Доказательство.
                Пусть и , тогда
. И, т.к. , то
. Следовательно - это подгруппа, докажем теперь ее нормальность.
Пусть , тогда .
- снова коммутатор, следовательно   равно произведению коммутаторов, т.е. .

                Теорема.
                1) при и при .
                2) при .
Доказательство.
                1) , - четная подстановка, следовательно, . Более того мы доказали ранее, что и что любая четная подстановка является произведением тройных циклов, т.е. произведением коммутаторов. Следовательно .
Имеем, что , следовательно либо единичная, либо совпадает с . Но - это неабелевая группа, следовательно , следовательно .
2) , имеет определитель равный единице, следовательно . Более того мы знаем, что , если . Следовательно . Из этого же соображения получаем, что .

Упражнение. Докажите, что .
Лекция 6 (8.10.2001)

Предложение. Пусть , тогда следующие условия эквивалентны:
1) - абелева;
2) .
Доказательство.
Напишем цепочку эквивалентных утверждений: - абелева
.