Студопедия
Обратная связь


Авиадвигателестроения Административное право Административное право Беларусии Алгебра Архитектура Безопасность жизнедеятельности Введение в профессию «психолог» Введение в экономику культуры Высшая математика Геология Геоморфология Гидрология и гидрометрии Гидросистемы и гидромашины История Украины Культурология Культурология Логика Маркетинг Машиностроение Медицинская психология Менеджмент Металлы и сварка Методы и средства измерений электрических величин Мировая экономика Начертательная геометрия Основы экономической теории Охрана труда Пожарная тактика Процессы и структуры мышления Профессиональная психология Психология Психология менеджмента Современные фундаментальные и прикладные исследования в приборостроении Социальная психология Социально-философская проблематика Социология Статистика Теоретические основы информатики Теория автоматического регулирования Теория вероятности Транспортное право Туроператор Уголовное право Уголовный процесс Управление современным производством Физика Физические явления Философия Холодильные установки Экология Экономика История экономики Основы экономики Экономика предприятия Экономическая история Экономическая теория Экономический анализ Развитие экономики ЕС Чрезвычайные ситуации


Неабелевая группа

                Определение.  Неабелевая группа называется простой, если в ней всего две нормальные подгруппы - единичная и сама группа.

Приведем несколько примеров простых групп:

Теорема. Группы  при  простые.
(группа  абелева, следовательно не простая; группа  содержит нормальную подгруппу , следовательно не простая).
Доказательство.

               Лемма 1. Подгруппа  порождается тройными циклами.
               Доказательство.
Мы знаем, что каждая подстановка есть произведение циклов длины 2 (транспозиций). Т.к. подстановки в  четны, то они равны произведению четного числа транспозиций. Рассмотрим произведение двух транспозиций:
, если  различны,
, если  различны,
.
Т.е. сгруппировав транспозиции по две, мы получим произведение циклов длины 3.

                Пусть в  существует нормальная подгруппа , причем .

               Лемма 2. Если  содержит тройной цикл (), то .
               Доказательство.
Возьмем произвольный тройной цикл , возьмем , такую что  или , далее все элементы переходят в себя. Одна из таких подстановок будет четной, выберем ее. Получим , т.к. . Следовательно подгруппе  принадлежат все тройные циклы, следовательно (по лемме 1), .

               Лемма 3. Если  содержит подстановку , у которой в разложении на независимые циклы встречается цикл длины , то .
               Доказательство.
Пусть , тогда . Т.е.  содержит цикл длины 3, следовательно (по лемме 2), .

               Лемма 4. Если  содержит подстановку , у которой в разложении на независимые циклы содержится хотя бы два цикла длины 3, то .
               Доказательство.
Пусть , тогда . Т.е.  содержит цикл длины 5, следовательно (по лемме 3), .

               Лемма 5. Если  содержит подстановку , у которой в разложении на независимые циклы содержится один цикл длины 3 и циклы длины 2, то .
               Доказательство.
Пусть , тогда , следовательно (по лемме 2), .

               Лемма 6. Если  содержит подстановку , у которой в разложении на независимые циклы содержатся только циклы длины 2, то .
               Доказательство.
Если , то, т.к. у нас не менее пяти символов, . Тогда , следовательно (по лемме 2), .
Если , то , следовательно (по лемме 4), .

                Теперь, собственно, докажем теорему. Возьмем произвольную . Она удовлетворяет условию одной из наших лемм, следовательно . Теорема доказана.

                Приведем еще один пример простой группы: группа  - ортогональных симметричных матриц.

                Определение. Коммутатором элементов  из группы  называется элемент .

Упражнение. .

                Предложение. В  имеем , если  различны.
Доказательство.
                .

                Предложение. В группе  имеем , если  различны.
Доказательство.

                Определение. Коммутант группы -  (или ) - это множество всех произведений коммутаторов.

Предложение. .
                Доказательство.
                Пусть  и , тогда
. И, т.к. , то
. Следовательно  - это подгруппа, докажем теперь ее нормальность.
Пусть , тогда .
 - снова коммутатор, следовательно   равно произведению коммутаторов, т.е. .

                Теорема.
                1)  при  и  при .
                2)  при .
Доказательство.
                1) ,  - четная подстановка, следовательно, . Более того мы доказали ранее, что  и что любая четная подстановка является произведением тройных циклов, т.е. произведением коммутаторов. Следовательно .
Имеем, что , следовательно  либо единичная, либо совпадает с . Но  - это неабелевая группа, следовательно , следовательно .
2) ,  имеет определитель равный единице, следовательно . Более того мы знаем, что , если . Следовательно . Из этого же соображения получаем, что .

Упражнение. Докажите, что .
Лекция 6 (8.10.2001)

                Предложение. Пусть , тогда следующие условия эквивалентны:
1)  - абелева;
2) .
Доказательство.
                Напишем цепочку эквивалентных утверждений:  - абелева
.





 

Читайте также:

Левый смежный класс | Правый смежный класс

Кольцо называется коммутативным, ассоциативным, антикоммутативным. Кольцо Ли в алгебре

Евклидово пространство

Теорема: Любая целочисленная прямоугольная матрица элементарными преобразованиями строк и столбцов приводится к диагональному виду

Гомоморфизм | Мономорфизм | Эпиморфизм | Изоморфизм | Автоморфизм в алгебре

Вернуться в оглавление: Алгебра

Просмотров: 3870

 
 

© studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам. Ваш ip: 54.159.140.188