Студопедия
Обратная связь


Авиадвигателестроения Административное право Административное право Беларусии Алгебра Архитектура Безопасность жизнедеятельности Введение в профессию «психолог» Введение в экономику культуры Высшая математика Геология Геоморфология Гидрология и гидрометрии Гидросистемы и гидромашины История Украины Культурология Культурология Логика Маркетинг Машиностроение Медицинская психология Менеджмент Металлы и сварка Методы и средства измерений электрических величин Мировая экономика Начертательная геометрия Основы экономической теории Охрана труда Пожарная тактика Процессы и структуры мышления Профессиональная психология Психология Психология менеджмента Современные фундаментальные и прикладные исследования в приборостроении Социальная психология Социально-философская проблематика Социология Статистика Теоретические основы информатики Теория автоматического регулирования Теория вероятности Транспортное право Туроператор Уголовное право Уголовный процесс Управление современным производством Физика Физические явления Философия Холодильные установки Экология Экономика История экономики Основы экономики Экономика предприятия Экономическая история Экономическая теория Экономический анализ Развитие экономики ЕС Чрезвычайные ситуации ВКонтакте Одноклассники Мой Мир Фейсбук LiveJournal Instagram 500-летие Реформации

Загрузка...

Теорема: Любая целочисленная прямоугольная матрица элементарными преобразованиями строк и столбцов приводится к диагональному виду

Теорема. Любая целочисленная прямоугольная матрица элементарными преобразованиями строк и столбцов приводится к диагональному виду , где .
Доказательство. (по индукции по числу строк)
                База индукции . Матрица имеет вид . Если она нулевая, то она уже имеет искомый вид. Если она не нулевая, то без ограничения общности можем считать, что  - это наименьший по модулю ненулевой элемент (иначе переставим столбцы). Также мы можем считать, что  (иначе умножим столбец на ), таким же образом сделаем все элементы положительными. Пусть , где . Вычитая из второго столбца , получим строку . Если 0, то наименьший модуль ненулевого элемента уменьшился, проделывая эту операцию несколько раз, получим, что модуль больше не может уменьшаться, т.к. он больше нуля. Следовательно, , и мы получим строку . Проделав это несколько раз, мы в итоге получим строку , поменяв местами столбцы, получим  - диагональная матрица, причем .
                Индуктивный переход. Пусть утверждение теоремы верно для  строк, докажем его для  строк. Мы имеем матрицу Обозначим через . Предположим, что привели  к  так, что дальше  не уменьшается. Переставив строчки и столбцы и, если надо, умножив на , получим, что это минимум достигается на элементе , причем . Тогда мы получим, что , если .

               Лемма. Все элементы первой строки  и первого столбца  делятся на .
               Доказательство.
Возьмем произвольный элемент из первой строки , получим, что , где . Если , то вычтя из -го столбца первый, умноженный на , получим на месте  число , следовательно  уменьшилось, что невозможно. Значит  и все элементы первой строки делятся на . Аналогично доказываем и про первый столбец.

                Раз все элементы первой строки и первого столбца делятся на , то вычитая первую строку (умноженную на нужный коэффициент) из остальных, и вычитая первый столбец (умноженный на нужный коэффициент) из остальных, получим матрицу , причем . Дальше, по предположению индукции, мы можем привести к диагональному виду матрицу , состоящую из  строк. В итоге получим искомое разложение.

                Упражнение. Число  равно набольшему общему делителю всех элементов матрицы.

                Пример:
                Приведем к диагональному виду матрицу , имеем, что НОДу всех элементов . Следовательно,  можно получить (например, умножив первый столбец на  и прибавив к нему второй): , ну а дальше будем действовать по алгоритму из доказательства теоремы:
.

                Теорема. Пусть  - свободная абелевая группа и  - ее подгруппа, тогда в  существует такой базис , что существуют , такие что  - базис в .
Доказательство.
                Пусть  - базис в . Пусть  - базис в , тогда
. Получим целочисленную матрицу , приведем ее к диагональному виду . При проведении элементарных преобразований, мы просто перешли к новому базису в  и в , таким образом, мы нашли базис  в , такой что  будет базисом в .

                Вспомним определение конечно-порожденной абелевой группы и докажем

                Теорема.  Пусть  - конечно-порожденная абелевая группа, тогда  является прямой суммой свободной абелевой группы и примарных циклических групп (циклических групп, порядок которых равен степени простого числа).
Доказательство.
                Пусть , т.е.  порождена элементами .  - свободная абелевая группа с базисом . Построим гомоморфизм  по правилу . Очевидно, что отображение  сюръективно. Его ядро  является подгруппой в . Пусть  - базис в , такой что  - базис в  (здесь  и ). В итоге имеем, что

, здесь положим  при .
 (по теореме о факторизации слагаемых).
Рассмотрим отдельное слагаемое , следовательно
. Вообще говоря группы  могут быть и не примарными, но в этом случае они раскладывают дальше в прямую сумму примарных циклических групп.

                Следствие. Конечная абелевая группа является прямой суммой примарных циклических групп.
Доказательство.
                Любая конечная абелевая группа является конечно-порожденной. И т.к. свободная абелевая группа счетная, то ее нет в разложении, предложенном в теореме. Следовательно, остаются только примарные циклические группы.

                Пример.
                Возьмем группу  порядка , тогда возможны следующие варианты:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Следовательно всего существует 6 не изоморфных абелевых групп порядка .

                Определение. Группа  не имеет кручения, если она не содержит неединичных элементов конечного порядка.

Теорема. Конечно-порожденная абелевая группа без кручения является свободной.
Доказательство.
                По предыдущей теореме имеем, что , следовательно этих слагаемых нет и  - свободная абелевая группа.





 

Читайте также:

Дискретные подгруппы в алгебре

Алгебра Вейля

Алгебра с умножением называется алгеброй Ли

Группа G

Неабелевая группа

Вернуться в оглавление: Алгебра

Просмотров: 6394

 
 

54.167.195.84 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам.