Краткая теория. Магнитное поле тока. Закон Био — Савара — Лапласа

Лабораторная работа №322

Магнитное поле тока. Закон Био — Савара — Лапласа

Цель работы: ознакомиться с методом измерения индукции магнитного поля при помощи датчика Холла, проверить закон Био-Савара-Лапласа, исследовать зависимость индукции магнитного поля в центре катушки от силы тока в катушке, изучить характер изменения индукции магнитного поля вдоль оси катушки для различных катушек

Оборудование: Датчик Холла (аксиальный),измерительный модуль Тесла, датчик перемещения, датчик тока на 6 А, универсальный измерительный блок «Кобра 3», универсальный источник питания, набор катушек и кольцеобразных проводников, ПК

Краткая теория

Одним из источников магнитного поля является проводник с током. Любой элемент проводника с током создает вокруг себя магнитное поле, которое характеризуется вектором напряженности .

В соответствии с принципом суперпозиции с помощью закона Био – Савара – Лапласа можно рассчитать напряженность магнитного поля, создаваемого проводником с током произвольной формы, в любой точке пространства.

Для этого выделим на проводнике бесконечно малый отрезок dl. Вектор, равный по величине произведению силы тока на и сориентированный по направлению тока, называют элементом тока - (рис.1).

Согласно закону Био – Савара – Лапласа, элемент тока в точке пространства создает магнитное поле, напряженность которого dН определяется по формулам:

, (1)

. (2)

Рисунок 1 - Иллюстрация к закону Био-Савара-Лапласа

Из закона Био – Савара – Лапласа следует, что элементарный вектор магнитной индукции в какой-либо точке С магнитного поля перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора и . Вектора , и составляют правую систему векторов. Направление вектора определяется в соответствии с правилом векторного произведения. Для нахождения направления вектора осуществляют поворот рукоятки правого винта (буравчика) по кратчайшему пути от вектора к вектору . Направление поступательного движения винта совпадает с направлением вектора напряженности магнитного поля.

Результирующую напряженность магнитного поля в данной точке пространства определяют в соответствии с принципом суперпозиции:

. (3)

Рассчитаем напряженность магнитного поля на оси витка радиусом R, по которому течет ток I (рис. 2).

Выделим на проводнике бесконечно малый элемент и проведем радиус-вектор от элемента с током I· до выбранной точки пространства, в которой определяем напряженность поля .

Разложим вектор на аксиальную и радиальную компоненты. Из соображений симметрии радиальная составляющая напряженности магнитного поля равняется нулю

. (4)

Рисунок 2 - К определению напряженности магнитного поля на оси витка

В соответствии с рис. 2 аксиальная составляющая (проекция напряженности магнитного поля на ось Z) определяется выражением

. (5)

Таким образом, напряженность магнитного поля на оси витка определяется компонентой .

Магнитное поле в веществе характеризуется вектором магнитной индукции

, (6)

где μo= 4π·10-7 Гн/м – магнитная постоянная, μ–магнитная проницаемость среды(для вакуума и воздуха μ= 1).

Согласно (5), (6) индукция магнитного поля на оси витка определяется формулой:

. (7)

Рассчитаем индукцию магнитного поля на оси катушки цилиндрической формы из проволоки, витки которой намотаны в одном направлении и плотно прилегают друг к другу. Такую катушку называют соленоидом.

Отношение числа витков соленоида к его длине называют плотностью намотки n=N/L,а отношение длины соленоида к его радиусу – относительной длиной Λ=L/R.

В соответствии с принципом суперпозиции магнитное поле соленоида представляет собойрезультат наложения полей, создаваемых несколькими круговыми токами, расположенными рядом и имеющими общую ось. Для расчета магнитного поля соленоида совместим ось zс осью катушки (рис. 3) и поместим начало координат в центр катушки.

Рисунок 3 - Иллюстрация к расчету индукции магнитного поля вдоль оси катушки.

На длине dz протекает ток Indz. Такой «виток» в точке с координатой z₀создает поле, напряженность которого равна:

(8)

Результирующая индукция магнитного поля в точке z₀:

(9)

Тогда в центре катушки:

. (10)

Внутри длинного соленоида (L>>R) вдали от его краев магнитное поле можно считать однородным и магнитная индукция определяется по формуле:

B = ,(11)

где µ - магнитная проницаемость среды внутри соленоида.

Формулу (11) можно получить из формулы (9), положив R = 0, т.к. L >> R.

О степени однородности магнитного поля соленоида можно судить по характеру линий магнитной индукции. Линии индукции магнитного поля соленоида изображены на рис. 4.

По густоте линий магнитной индукции судят также и о величине индукции магнитного поля. Она максимальна в центре катушки.