Методические указания. Рассмотрим последовательность выполнения задания на примере варианта 30 –13 –1 ‑3

Рассмотрим последовательность выполнения задания на примере варианта 30 –13 –1 ‑3. Изображение каждого элемента должно соответствовать его характеру (R,L или С). В соответствии с указанным вариантом, исходная схема показана на рис. 2.1. Комплексные сопротивления элементов имеют значения: Z ₁=j10Oм, Z₂ =-j30Oм, Z ₃=40Ом, Z ₅₌60 Ом, комплексы действующих ЭДС Е ₁=100В, Е ₂₌127е^j25В.

1. Составление системы уравнений по законам Кирхгофа в комплексной форме:

Выбираем направления токов в ветвях и направления обхода контуров. Составим систему уравнений для комплексов действующих токов и напряжений:

(2.1)

Подставляем данные элементов и запишем систему уравнений (2.1) в матричной форме :

, (2.2)

где квадратная матрица A – обобщенная матрица коэффициентов, I – вектор токов ветвей, E - столбец правой части – вектор входных воздействий.

Систему уравнений (2.2) решаем с помощью программы MathCAD (пример решения в приложении №2) и находим комплексные амплитуды токов в элементах схемы.

Далее, используя закон Ома в комплексной форме, определяем комплексные амплитуды напряжений на элементах схемы.

Записываем все токи и напряжения в алгебраической и показательной формах.

Используя значения комплексных амплитуд, записываем их мгновенные значения.

Результаты вычислений оформляем в виде таблицы.

Ток	Форма записи токов
Арифметическая	Показательная	Тригонометрическая	Мгновенные значения

2. Составление системы уравнений по методу контурных токов.

Выбираем направления контурных токов I_кi, совпадающие с обходом контуров на схеме рис 2.1. Далее, составляем систему уравнений для рассматриваемой схемы:

(2.3)

Подставим значения параметров элементов и запишем систему уравнений (2.3) в матричной форме:

(2.4)

Составленное матричное уравнение (2.4) решаем с помощью прикладной программы MathCAD и находим комплексы контурных токов. На основании комплексов контурных токов вычисляем токи во всех ветвях.

Используя закон Ома в комплексной форме, определяем комплексные амплитуды напряжений на элементах схемы.

Записываем все токи и напряжения в алгебраической и показательной формах.

Используя значения комплексных амплитуд, записываем их мгновенные значения.

Результаты вычислений оформляем в виде таблицы.

Ток	Форма записи токов
Арифметическая	Показательная	Тригонометрическая	Мгновенные значения

Сравниваем полученные п.1 и п.2 результаты.

3. Составление и решение системы уравнений по методу узловых потенциалов.

В схеме рис. 2.1имеются три узла. Принимая потенциал узла 3, равным нулю, т.е. , составим исходную систему уравнений:

(2.5)

где

-узловые проводимости исследуемой схемы;

‑ узловые токи.

Подставляя численные значения элементов схемы, получим:

,

,

,

,

.

После подстановки числовых значений система уравнений (2.5) принимает вид:

Решаем систему уравнений с помощью определителей. Находим комплексы узловых потенциалов: , где является определителем узловых проводимостей, -алгебраические дополнения определителя.

В

В

Находим комплексы токов в ветвях, учитывая, что :

,

,

,

,

.

Используя закон Ома в комплексной форме, определяем комплексные амплитуды напряжений на элементах схемы.

Записываем все токи и напряжения в алгебраической и показательной формах.

Используя значения комплексных амплитуд, записываем их мгновенные значения.

Результаты, полученные методом узловых потенциалов, сравниваем с результатами, полученными в п.1 и 2.

Результаты вычислений оформляем в виде таблицы.

Ток	Форма записи токов
Арифметическая	Показательная	Тригонометрическая	Мгновенные Значения

4 Расчет активных и реактивных мощностей.

Определим активную, реактивную и полную мощности, потребляемые цепью. Для этого найдем в начале комплексную мощность источников цепи

.

Подставляя численные значения, получим

ВА

Полная мощность определяется как модуль комплексной мощности

ВА.

Полная мощность состоит из активной и реактивной составляющих

откуда найдем активную и реактивную мощности как вещественную и мнимую (соответственно) части комплекса полной мощности:

Вт,

ВАр.

Для составления баланса мощностей найдем комплекс полной мощности приемников

Полная мощность состоит из активной и реактивной составляющих

Проводим оценку баланса:

Полученная погрешность находится в пределах погрешности вычислений. Таким образом, баланс активных и реактивных мощностей в схеме соблюдается.

5. Определение показаний приборов.

Амперметр показывает действующее значение измеряемого тока I _A= I ₂=5,32 A. Вольтметр – действующее значение измеряемого напряжения U_V = U ₄=106,4 В.

Показание ваттметра определяется произведением действующих значений измеряемого напряжения и измеряемого тока, умноженного на косинус угла сдвига фаз между ними: .

6. Построение векторной диаграммы токов и напряжений.

Для построения может быть использована любая форма записи комплексных чисел (рис.2.2). Диаграмма токов должна удовлетворять уравнениям по первому закону Кирхгофа, диаграмма напряжений - уравнениям по второму закону Кирхгофа. Диаграмму строим на

миллиметровке, используя масштабы, соответствующие ГОСТ: М (A/см, В/см) = 0,2; 0,5; I; 2; 5; 10; 20... (Диаграммы токов и напряжений выполняем разными цветами).

9. Определение тока i₅, методом эквивалентного генератора.

При данном методе расчета тока в выделенной ветви (ветвь ), всю остальную часть схемы можно заменить эквивалентным генератором с ЭДС Е_Э.Г и с внутренним сопротивлением R_Э.Г.. Данный метод принято называть метод холостого хода и короткого замыкания. Для расчета находят напряжения на зажимах разомкнутой ветви (в нашем случае Z ₅) и определяют входное сопротивление всей схемы по отношению к зажимам разомкнутой ветви. Ток в ветви рассчитывают по уравнению

.

Находим ЭДС эквивалентного генератора методом наложения. Для рассматриваемой схемы , где - комплекс тока, протекающего по сопротивлению Z ₄, при условии, что ветвь с сопротивлением Z₅ разомкнута.

Определяем ‑ ток при действии одного источника E₁ (рис.2.3, а) методом эквивалентных преобразований

,

.

Определяем - ток при действии одного источника (рис.2.3, б) методом эквивалентных преобразований:

,

.

Находим ток при одновременном действии двух источников в соответствии с принципом наложения

,

(в данном случае токи суммируются, так как направления частичных токов и совпадают; а сложение комплексов вместо сложения мгновенных значений здесь допустимо лишь потому, что оба источника работают на одной и той же частоте).

.

Определяем сопротивление эквивалентного генератора как эквивалентное сопротивление цепи по отношению к зажимам сопротивления Z₅. (рис.2.3.в)

.

Далее находим ток

.

Запишем мгновенное значение тока , которое имеет значение близкое к полученному в п. 1 и 2.

8. Определение сопротивления каждого элемента при изменении частоты в n раз проводим с учетом того, что индуктивное сопротивление прямо пропорционально частоте, а емкостное – обратно пропорционально частоте.

Задание 3. Расчёт цепей постоянного тока различными методами.

Исходные данные:

В разветвленной электрической цепи постоянного тока (рис. 3.1) действуют два источника ЭДС из шести. Величина и направление ЭДС источников, а также величина сопротивлений для каждого варианта приведены в табл.4. ЭДС остальных четырех источников равны нулю.

Таблица 3.1

№ варианта	ЭДС, В	R1	R2	R3	R4	R5	R6	1 группа
R6	R5	R4	R3	R2	R1	2 группа
R1	R3	R5	R2	R4	R6	3 группа
R2	R1	R4	R3	R6	R5	4 группа
Ом
	Е 1=100	Е 1=20
	Е 1=80	Е 1=20
	Е 1=80	Е 1=20
	Е 1=80	Е 1=20
	Е 1=80	Е 1=20
	Е 2=80	Е 2=80
	Е 2=80	Е 2=80
	Е 2=80	Е 2=80
	Е 2=80	Е 2=80
	Е 3=80	Е 1=20
	Е 3=80	Е 1=20
	Е 3=80	Е 1=20
	Е 4=80	Е 1=20
	Е 4=80	Е 1=20
	Е 5=80	Е 1=20
	Е 1=100	Е 1=20
	Е 2=80	Е 1=20
	Е 1=80	Е 1=20
	Е 1=80	Е 1=20
	Е 1=80	Е 1=20
	Е 2=80	Е 1=20
	Е 2=80	Е 1=20
	Е 2=80	Е 1=20
	Е 2=80	Е 1=20
	Е 3=80	Е 1=20
	Е 3=80	Е 1=20
	Е 3=80	Е 1=20
	Е 4=80	Е 1=20
	Е 4=80	Е 1=20
	Е 5=80	Е 6=20

Требуется:

1. На основании законов Кирхгофа составить систему уравнений для расчета токов в ветвях цепи. Решить с помощью прикладных программ (MatLab, MatCAD).

2. Рассчитать токи в ветвях методом контурных токов с применением прикладных программ (например, MatCAD).

3. Расcчитать токи в ветвях методом узловых потенциалов.

4. Найти ток в резисторе R_k методом эквивалентного генератора (k = 1 ‑ 6 задается преподавателем).

5. ЭДС эквивалентного генератора Е _эг определить, используя метод наложения, а внутреннее сопротивление эквивалентного генератора R _эг - используя преобразование треугольника в звезду или обратное преобразование.

6. Построить кривую мощности Р = f(R_к) и напряжения U_к=f(R_к) при изменении R_к в пределах R_к =(0 ¸3) R _эг.

7. Определить показание вольтметра (R _v=¥), включенного между точкой a и узлом, потенциал которого равен нулю, методом узловых потенциалов.

8. Проверить баланс мощностей в цепи.

9. Найти один из узловых потенциалов (по указанию преподавателя) методом преобразования сигнального графа.

10. Определить передачу от одного из источников ЭДС к заданному узлу графа (по указанию преподавателя) по формуле Мэзона.

Методические указания.

1. Для составления уравнений по законам Кирхгофа необходимо:

- выбрать положительные направления токов в ветвях;

- составить независимые уравнения по первому закону Кирхгофа;

- выбрать положительные направления обхода контуров;

- составить уравнения по второму закону Кирхгофа;

- решить полученную систему уравнений.

Так как цепь имеет шесть ветвей и четыре узла, должно быть составлено три уравнения по первому закону и три уравнения по второму закону Кирхгофа.

Рассмотрим схему, изображенную на рис. 3.2. Для данной схемы составим систему уравнений по законам Кирхгофа и представим ее в матричном виде:

Подставим значения параметров элементов и получим матричное уравнение

Полученную систему уравнений решаем с применением программы MathCAD. Поэтому уравнение запишем в виде , где A является матрицей коэффициентов, I ‑вектор токов, E - вектор воздействий. Решая полученное матричное уравнение, находим значения токов.

2. Выполнить расчет цепи по методу контурных токов. При расчете цепи по методу контурных токов вначале необходимо составить систему уравнений, определить значения контурных сопротивлений R ₁₁, R ₁₂= R ₂₁, R ₁₃= R ₃₁, R ₂₂ R ₂₃= R ₂₁, R ₃₂, R ₃₃ и выбрать контурные токи. Запишем систему уравнений:

Полученную систему уравнений запишем в матричном виде с учетом контурных сопротивлений и ЭДС:

.

Решая матричное уравнение, находим контурные токи. Далее, используя контурные токи, вычисляем токи в ветвях.

3.Расчет электрических цепей методом сигнальных графов. Сигнальный граф отражает систему алгебраических уравнений цепи, составленную известными методами. Использование сигнальных графов позволяет выполнить расчет сложных электрических цепей без решения системы алгебраических уравнений с помощью графических посторенний на плоскости. Сигнальные направленные графы применимы при расчете пассивных и активных цепей.

Для нахождения узлового потенциала методом сигнального графа, построим нормализованный граф по системе уравнений, составленной методом узловых потенциалов. Если исходная система уравнений составленная методом узловых потенциалов имеет вид

,

то нормализованная система уравнений пишется в форме

(3.2)

где , , , , , , , , .

Нормализованный граф, соответствующий системе уравнений (3.2), показан на рис.3.3. Для определения , надо исключить узлы и . После исключения узла получаем граф рис. 3.4.а. Объединив однонаправленные ветви и исключив петли, получим граф рис.3.4.б. Дальнейшее исключение узла и образующейся при этом петли приводит к графу рис. 3.5, откуда .

При выполнении п. 9 задания, передача от источника E _j к заданному узлу графа определяется по формуле Мэзона

,

где L_j – передача j- го контура графа; ‑передача n – го пути от источника к узлу ; N – общее число таких путей: ‑ определитель графа.

Рассмотрим определение передачи от источника к узлу в графе рис. 3.3. Граф имеет пять контуров с передачами

, , , , .

Все контуры без исключения соприкасаются друг с другом. В определитель графа

не должны входить (отмечается знаком *) члены, содержащие произведения передач соприкасающихся контуров. Поэтому,

При определении числителя в выражении , знак «*» означает, что для каждого пути из рассмотрения исключаются контуры, соприкасающиеся с ним. От источника к узлу имеются три пути с передачами P₁ = afj,, P₂=bj, P₃=-d.

Пути Р₁ и Р₂ касаются всех пяти контуров. Путь Р ₃, не касается контура L ₂. В соответствии с этим,

.

Задание 4. РАСЧЁТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ФИЛЬТРОВ

Исходные данные:

На рис. 4.1 изображена схема подключения нагрузки R _н к генератору через согласующий четырехполюсник С и фильтр Ф. Генератор вырабатывает периодическое несинусоидальное напряжение .

Частотный фильтр является пассивным четырехполюсником и предназначен для пропускания определенной полосы частот с малыми потерями к внешней нагрузке. Задача согласующего четырехполюсника заключается в обеспечении передачи к нагрузке максимальной мощности на частоте согласования. На рис. 4.2 приведены фильтры, состоящие из реактивных элементов. Согласующий четырехполюсник состоит из реактивных элементов.

Рис. 4.2

Тип фильтра, границы полосы пропускания, номер гармоники частоты согласования, а также сопротивление нагрузки R и величины элементов внутреннего сопротивления генератора приведены в табл. 4.1.

Таблица 4.1

№ п.п.	Тип фильтра (рис 4.2)	Полоса пропускания	Rn, Ом	Ri, Ом	Li или Ci	Частота согласования
n н	n в
						0.015 Гн
						80 мкФ
						0,010 Гн
						60 мкФ
						30 мкФ
						0,002 Гн
						0,005 Гн
						25 мкФ
						0,009 Гн
						100 мкФ
						75 мкФ
						0,12 Гн
						0,020 Гн
						65 мкФ
						0,018 Гн
						55 мкФ
						120 мкФ
						0,008 Гн
						110 мкФ
						0,030 Гн
						0,007 Гн
						0,020 Гн
						30 мкФ
						35 мкФ
						75 мкФ
						0,04 Гн
						0,015 Гн
						80 мкФ
						85 мкФ
						0,014 Гн
						100 мкф
						0,010 Гн

Требуется:

1. Считая фильтр симметричным и нагруженным на повторное сопротивление, найти параметры элементов фильтра. Повторное сопротивление на частоте согласования принять равным R_н. Для фильтров частота резонанса последовательного или параллельного контура должна располагаться в полосе затухания и совпадать с ближайшей к границе полосы (только для режущих фильтров) частотой сигнала (гармоники), имеющейся в спектре напряжения генератора.

2. Для полученного фильтра найти и построить графики зависимости модуля коэффициента передачи и повторного сопротивления от частоты.

3. Нагрузив на постоянное активное сопротивление - R_н фильтр, рассчитанный в п.1, рассчитать его частотные передаточные функции по напряжению и по току, представив их в виде отношения полиномов. С применением прикладных программ, на компьютере рассчитать амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики нагруженного фильтра. Построить графики этих характеристик.

4. Найти границы полосы пропускания по напряжению и току и сравнить их друг с другом и с заданной полосой пропускания.

5. Для фильтра п.2 на частоте согласования рассчитать параметры Г- образного согласующего четырехполюсника, обеспечивающего передачу максимальной мощности к нагрузке. Заменить последовательно включенные согласующий четырехполюсник и фильтр эквивалентным четырехполюсником. Найти на частоте согласования модуль коэффициента передачи по напряжению эквивалентного четырехполюсника, определив необходимые для этого постоянные эквивалентного четырёхполюсника. Полученный коэффициент передачи сравнить с аналогичным коэффициентом, рассчитанным в п.1 и 2.