Расчет электрической схемы методом эквивалентных преобразований. Методические указания

Рассмотрим ход выполнения задания на примере варианта 30-13-1. Изображение каждого элемента на схеме должно соответствовать его характеру (). В соответствии с указанным вариантом исходная схема показана на рис 1.2.

Комплексы сопротивлений элементов имеют значения , , , , , комплекс действующего значения ЭДС .

1. Составление системы уравнений по законам Кирхгофа.

Выбираем направления токов в ветвях и направления обхода контуров. Составим систему уравнений для комплексов действующих токов и напряжений:

(1.1)

Подставляя данные, запишем систему уравнений (1.1) в матричной форме :

(1.2)

где квадратная матрица [ A ]– обобщенная матрица коэффициентов, [ I ] – матрица токов ветвей цепи, столбец правой части [ E ] – вектор входных воздействий.

Составленное матричное уравнение (1.2) решаем с помощью прикладной программы MathCAD. Результаты вычислений приводиться в пояснительной записке домашнего задания. Напряжения на элементах определяются по закону Ома в комплексной форме.

2. Результаты расчетов занести в табл. 1.3.

Таблица 1.3

Расчетная Величина	Результаты расчета программой MathCAD в действующих значениях	Мгновенные значения	Результаты расчета методом эквивалентных преобразований
	А
…	…	…	…	…
	А
	В
…	...	…	…	…
	В

3. Расчет электрической схемы методом эквивалентных преобразований.

С помощью метода эквивалентных преобразований находим эквивалентное (входное) сопротивление цепи. Будем определять сопротивления участков цепи (используем составные индексы, состоящие из индексов участвующих элементов). При этом все результаты целесообразно записывать и в показательной и алгебраической формах, поскольку для умножения и деления удобнее показательная, а для суммирования и вычитания – алгебраическая форма.

.

По закону Ома

.

Тогда .

Дальнейшие шаги расчета можно проводить двумя способами: по закону Ома или законам Кирхгофа. Можно пользоваться любым методом, а можно пользоваться и обеими одновременно, что позволит сравнивать результаты с целью текущей самопроверки.

По законам Кирхгофа

по закону Ома

(незначительные отклонения допустимы, поскольку расчет производился с округлением результата после каждого шага).

,

или

или

или . Рассчитанным выше значениям комплексов токов и напряжений соответствуют следующие мгновенные значения величин:

,

В,

,

В,

,

В,

,

В,

,

В.

Полученные методом эквивалентных преобразований значения токов сравниваем с результатами расчета с помощью прикладной программы MathCAD.

4. Проверка баланса активных и реактивных мощностей.

Проверка баланса мощностей проводится в соответствии с уравнением

где – сопряженный комплекс тока ветви, в которую включен источник, - комплексное напряжение источника, – комплекс сопротивления и действующий ток ветви .

Для рассмотренного варианта:

.

Определяем полную мощность источника:

.

Далее определяем полную мощность приемников цепи:

Проводим оценку баланса по формулам

;

.

Полученное расхождение находится в пределах погрешности вычислений.

5. Определение показаний приборов.

Амперметр показывает действующее значение тока I _A= I ₂= 6,25 А. Вольтметр – действующее напряжения U _v = U ₄ = 76.5 В.

Показание ваттметра определяется произведением действующих значений измеряемого напряжения и измеряемого тока, умноженным на косинус сдвига фаз между ними:

Вт.

6. Построение векторной диаграммы токов и напряжений.

Для построения векторной диаграммы (рис 1.3) можно воспользоваться любой из форм представления комплексов действующих значений токов и напряжений.

Векторная диаграмма токов должна удовлетворять уравнениям по первому закону Кирхгофа, векторная диаграмма напряжений – уравнениям по второму закону Кирхгофа.

Векторная диаграмма строится, на миллиметровке с использованием масштабов, соответствующих ГОСТ. Желательно выделять токи и напряжения разными цветами. Заметим, что пользуясь правилами сложения векторов, можно по векторной диаграмме легко проверить выполнение уравнений (1.1), составленных по законам Кирхгофа при подстановке в них рассчитанных выше результатов.

7. Определение сопротивления каждого элемента при изменении частоты в n раз проводим с учетом зависимостей индуктивного и емкостного сопротивлений от частоты.

8. Определение тока в одной из ветвей методом эквивалентного генератора (Э.Г.).

Номер ветви, ток в которой следует определить методом Э.Г., задается преподавателем. Определение тока методом Э.Г. произведем на примере второй ветви схемы по тому же (рассмотренному выше) варианту 30-13-1.

В соответствии с сущностью метода, схема Э.Г. имеет вид, приведенный на рис. 1.4.
В этой схеме интересующая нас нагрузка присоединяется к точкам a и b. Пользуясь результатами, полученными выше, имеем Ом. Тогда внутреннее сопротивление источника Э.Г., определяемого между точками a и b при замене источника Е его внутренним сопротивлением будет:

Ом.

ЭДС Э.Г. отличается от ЭДС источника Е на величину падения напряжения, создаваемого током I, на сопротивлении .

А,

Искомый ток определяется в соответствии со схемой на рис 1.5

А.

Сравнение этого результата с результатом, полученным ранее, дает расхождение, приемлемое в пределах погрешности вычислений.

Задание 2. РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА РАЗЛИЧНЫМИ МЕТОДАМИ

Исходные данные:

В цепи, представленной на рис 1.1 (см. задание 1), действуют два (из пяти возможных) источника синусоидальной ЭДС , . Модули сопротивлений элементов цепи: при частоте . Начальная фаза ЭДС и характер сопротивлений заданы в таблице 1.1. Нумерация сопротивлений таблицы 1.1 приведена в таблице 1.2 (см. задание 1).

Номер варианта задает преподаватель в виде четырех чисел, например 25 ‑7 ‑ 2 ‑ 3. Первое число указывает на номер строки в табл. 1, второе число определяет нумерацию сопротивлений (табл. 1) в соответствии с номером строки в таблице 2, третье и четвертое числа указывают номера сопротивлений, последовательно с которыми включены источники и . Указанный вариант означает, что , , , , , , , источник ЭДС включен последовательно с сопротивлением , а источник ‑ последовательно с сопротивлением .

Требуется:

1. Составить и решить на компьютере систему алгебраических уравнений в комплексной форме:

1.1 по законам Кирхгофа;

1.2 по методу контурных токов.

2. Значения токов в ветвях и напряжения на всех участках, найденные с помощью законов Кирхгофа, записать в алгебраической и показательной формах. Перейти от комплексов токов и напряжений к их мгновенным значениям. Комплексы действующих контурных токов привести в алгебраической и показательной формах.

3. Найти комплексы действующих значений токов в ветвях в алгебраической и показательной формах. Сравнить результаты, полученные двумя способами.

4. Составить и решить систему алгебраических уравнений в комплексной форме методом узловых потенциалов. Определить токи в ветвях. Сравнить полученные значения токов со значениями, полученными в п.1.

5. Проверить баланс активных мощностей.

6. Определить показания амперметра, вольтметра и ваттметра.

7. Построить векторные диаграммы токов и напряжений.

8. Определить ток в одной из ветвей цепи, не содержащей источника ЭДС, методом эквивалентного генератора (ЭДС эквивалентного генератора найти методом наложения). Сравнить полученное значение тока с его значением, найденным по законам Кирхгофа и методом комплексных токов.

9. Определить сопротивление каждого элемента при изменении частоты в n раз (n задано в табл. 1.1).