Следствие №2 из аксиом кольца

в кольце выполняется равенство

У нас есть 4 аксиомы по сложению, аксиома ассоциативности умножения и 2 аксиомы дистрибутивности (левая и правая) и нужно из этих 7 аксиом вывести равенство .

Доказательство:

Из 7 аксиом мы использовали 4

Везде, где выполняются эти аксиомы

Замечание: если не ассоциативные кольца, где умножение ассоциативное.

Пример: в качестве кольца взять векторное пространство, в котором сложение будет сложением векторов, а умножение будет векторным произведением.

Следствие №3 (минус на минус)

Почему ?

Почему обратный по сложению обратному по сложению равен исходному элементу???

По определению обратного элемента

В этой формуле за первичный элемент взять (-а), то обратный по сложению будет сам элемент а.

Следствие №4

Доказательство: Здесь используется,доказанное ранее равенство , таким образом , значит из равенства что два слагаемых обратных по сложению к

это равенство при доказательстве использует 4 аксиомы.

Аналогично можно доказать и тогда

Примеры колец:

№1 Кольцо вычетов, остатков от деления на n

Упражнение:

А)проверить 4 аксиомы сложения

Б)проверить:дистрибутивность, коммутативность и ассоциативность умножения.

Остатки проверены в аксиомах.

№2 Кольцо многочленов(Полиномы)

ПустьК некоторое кольцо вычетов или кольцо целых чисел, а х – некоторая переменная.

Рассмотрим формулу – сумму вида - свободный член полинома, n раз коэффициенты многочленов, число n – степень многочлена, а_n старший коэффициент

Множество всех многочленов обозначим , - не кольцо, а поле дробей,

- поле рядов, - поле дробей рядов.

На множестве вводим операцию сложения

, так как в К коммутативность и ассоциативность сложения, то и в кольце К_х они тоже существуют.

Пусть 0 – нейтральный по сложению кольца К. Введем - (все коэффициенты =0)- это нулевой многочлен будет нейтральным по сложению и обратным элементом к