Общие сведения. 1. Скалярное произведение

1. Скалярное произведение

Скалярным произведением называется сумма попарных произведений соответственных координат векторов илипроизведение их длин на косинус угла между ними

(ab) = a₁b₁ + a₂b₂ + … + a_nb_n = |a| |b| cos j.

2. Частная производная

Пусть F(x)=F(x₁,x₂,… x_n,) определена в некоторой окрестности точки x ₀(x₁₀,x₂₀,… x_n0). Производная F(x) по переменной x₁, вычисленная в предположении, что все остальные переменные не меняются (т.е. производная вдоль прямой, параллельной оси x₁) называется частной производной первого порядка по x₁ в точке x ₀(x₁₀,x₂₀,… x_n0). Эта частная производная обозначается ¶F/¶x₁(x₁₀,x₂₀,… x_n0) или F¢_x1(x₁₀,x₂₀,… x_n0)

2. Градиент

Пусть n-мерный вектор, здесь символом «′» обозначена операция транспозиции, которая превращает строки в столбцы и столбцы в строки, а F(x) – дважды непрерывно дифференцируемая функция переменной x, т.е. F(x) функция n переменных x_i. Градиентом F(x) в точке x ₀ называется n-мерный вектор-столбец = , координатами которого являются частные производные F(x) по координатам x_i, вычисленные в некоторой точке x ₀. Основные свойства:

1. Используя вектор-градиент можно записать первый дифференциал в виде скалярного произведения:

dF= ( d x) = │ │ │ d x│ cos φ

Здесь cos φ это косинус угла между вектором смещения d x и градиентом. Из такой формы записи следует несколько выводов:

2. Производная по любому направлению равна проекции градиента на это направление.

3. Вектор градиент всегда направлен в сторону скорейшего возрастания функций.

4. В направлении перпендикулярном градиенту производная равна нулю. Т.к. вдоль линии уровня производная очевидно равна нулю (функция вдоль линии уровня не меняется) то понятно, что линия уровня в каждой своей точке перпендикулярна градиенту (проекция градиента равна производной по направлению, а производная в направлении линии уровня нуль).

5. Для линейной функции F(х) = c₁ x₁ + c₂ x₂ +.... c_n x_n = (cx) градиентом является постоянный вектор коэффициентов (c₁, c₂,.... c_n)′= c т.е. линейная функция быстрее всего растет в направлении c, и вообще растет только в тех направлениях, на которые c имеет положительную проекцию.