Теорема Ферма. Пусть f(x) дифференцируема в точке окрестности точки Х0

Пусть f(x) дифференцируема в точке окрестности точки Х₀. Пусть для любой точки Х из этой окрестности выполняется:

f(x)<f(x₀)

f(x)>f(x₀), тогда f’(x₀) = 0

Док-во:

1) ∆x > 0

2) ∆x < 0

Из равенства правостороннего предела левостороннему пределу следует, что оба эти предела равны 0, а следовательно:

Геометр.смысл

a││b; а – касательная к графику, следоват. tgα = 0

α-угол наклона касат.к графику

Теорема Ролля

Пусть функция f(x) определена и дифференцируема на отрезке АВ и в концах этого отрезка принимает одинаковое значение, тогда существует точка С, принадлежащая отрезку АВ, что производная функции f(x) в точке С=0

А В